Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm cạnh BC . Gọi D và E…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ cùng các em giải quyết bài toán hình học rất hay và quen thuộc này. Các em hãy chuẩn bị sẵn giấy bút và theo dõi thật kỹ từng bước lập luận nhé.

Trước tiên, để làm tốt bài toán hình học, các em hãy vẽ một hình thật chính xác vào vở. Vẽ tam giác ABC vuông tại A, xác định trung điểm M của cạnh BC. Từ M hạ các đường vuông góc xuống AB tại D và xuống AC tại E.

Bây giờ, chúng ta sẽ đi giải quyết từng ý của bài toán theo yêu cầu.

Phần a: Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật

Để chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật, cách đơn giản nhất là chứng minh tứ giác đó có ba góc vuông. Chúng ta sẽ cùng xét từng góc của tứ giác ADME:

• Thứ nhất, theo giả thiết ban đầu, tam giác ABC vuông tại A, nên góc BAC bằng chín mươi độ hay góc DAE bằng chín mươi độ.
• Thứ hai, theo giả thiết, MD vuông góc với AB tại D, nên góc MDA bằng chín mươi độ.
• Thứ ba, cũng theo giả thiết, ME vuông góc với AC tại E, nên góc MEA bằng chín mươi độ.

Xét tứ giác ADME, ta có góc DAE bằng góc MDA bằng góc MEA và đều bằng chín mươi độ. Vậy tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông).

Phần b: Chứng minh D là trung điểm của AB

Lưu ý quan trọng là đề bài yêu cầu chúng ta chưa được sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác. Do đó, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đoạn thẳng song song và các góc trong hình học. Các bước chứng minh như sau:

• Xét đường thẳng AB và đường thẳng ME, ta thấy cả hai đường thẳng này cùng vuông góc với AC (theo giả thiết ME vuông góc với AC và góc A vuông nên AB cũng vuông góc với AC). Do đó, AB song song với ME.
• Xét tam giác ABC, điểm M là trung điểm của cạnh BC.
• Từ điểm M ở giữa cạnh BC, ta kẻ đường thẳng MD song song với AC (vì MD vuông góc với AB và AC vuông góc với AB nên MD song song với AC).
• Theo tính chất đoạn chắn (hoặc định lý Ta-lét đảo mà các em sẽ học kỹ hơn, nhưng ở đây ta hiểu một cách trực quan từ tam giác cân hoặc tính chất đường song song đi qua trung điểm một cạnh): Đường thẳng đi qua trung điểm M của cạnh BC và song song với AC thì sẽ cắt cạnh AB tại trung điểm D của AB.

Như vậy, ta đã chứng minh được D chính là trung điểm của đoạn thẳng AB.

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với dạng toán hình học lớp 8 này, các em cần chú ý bám sát giả thiết bài toán cho những gì (đường vuông góc, trung điểm) và nhớ lại các dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật. Chúc các em học tập thật tốt và luôn yêu thích môn Toán!