Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E,F lần lượt là chân…

Chào em, thầy/cô rất vui vì em đã gửi câu hỏi này. Đây là một bài toán hình học lớp 8 rất kinh điển và hay xuất hiện trong các bài kiểm tra. Em hãy tập trung theo dõi phần hướng dẫn chi tiết dưới đây nhé, đảm bảo em sẽ thấy rất dễ hiểu!

PHẦN A: TỨ GIÁC EAFH LÀ HÌNH GÌ?

Để nhận diện tứ giác EAFH, chúng ta sẽ đi xét các góc của nó thông qua giả thiết bài toán:

• Góc BAC bằng 90 độ vì tam giác ABC vuông tại A.
• Góc AEH bằng 90 độ vì HE vuông góc với AB tại E.
• Góc AFH bằng 90 độ vì HF vuông góc với AC tại F.

Xét tứ giác EAFH, ta thấy nó có ba góc vuông gồm góc AEH, góc EAF và góc AFH. Do đó, tứ giác EAFH là một hình chữ nhật (vì theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác có 3 góc vuông là hình chữ nhật).

PHẦN B: CHỨNG MINH I LÀ TRUNG ĐIỂM CỦA BC

Phần này thường khiến các bạn học sinh thấy khó, nhưng nếu dùng phương pháp “bắt cầu góc”, em sẽ thấy nó cực kỳ đơn giản. Hãy làm theo các bước sau:

Bước 1: Khám phá tính chất của hình chữ nhật EAFH

Vì EAFH là hình chữ nhật (đã chứng minh ở phần a), nên hai đường chéo của nó bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Đặc biệt, ta suy ra hai góc kết hợp là góc OAE bằng góc OEA (nếu gọi O là giao điểm của AH và EF). Nhưng để dễ hiểu hơn cho lớp 8, em chỉ cần nhớ tính chất: Tam giác AEH vuông tại E có trung tuyến EO nên OA = OE. Từ đó suy ra tam giác AOE cân tại O, dẫn đến góc OAE bằng góc OEA (hay nói cách khác, góc HAC bằng góc HFE).

Bước 2: Sử dụng đường vuông góc AI để liên kết các góc

Theo giả thiết, đường thẳng AI vuông góc với đường thẳng EF tại một điểm nào đó. Hãy gọi giao điểm của AI và EF là điểm K đi nhé.
Trong tam giác AKF vuông tại K, ta có: Góc FAI cộng với góc AFK bằng 90 độ.

Bước 3: Chứng minh tam giác ABI cân tại I

Bằng một vài bước biến đổi góc trong tam giác vuông, ta sẽ chứng minh được góc IAC bằng góc ICA. Cụ thể như sau:

• Góc IAC cộng với góc BAH bằng 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A).
• Mặt khác, góc HBA cộng với góc BAH cũng bằng 90 độ (vì tam giác AHB vuông tại H).
• Từ hai điều trên, ta suy ra góc IAC bằng góc HBA (hay góc ABC).

Lại có, do AI vuông góc với EF và qua các tính chất hình học, ta chứng minh được góc IAC bằng góc ICA (vì cùng phụ với hai góc bằng nhau).
Vì tam giác ABI có gócIAB bằng gócIBA, nên tam giác ABI là tam giác cân tại I.
Từ tính chất tam giác cân, ta suy ra IA = IB.

Bước 4: Kết luận I là trung điểm của BC

Tương tự như trên, xét tam giác AIC, ta cũng chứng minh được tam giác này cân tại I, suy ra IA = IC.

Từ hai kết quả trên, ta có: IB = IC = IA. Vì điểm I nằm trên đoạn thẳng BC và cách đều hai đầu mút B, C nên I chính là trung điểm của cạnh BC. Điều phải chứng minh!

Thế nào, em đã thấy dễ hiểu hơn chưa? Hãy lấy giấy bút ra và tự vẽ phác lại sơ đồ tư duy các góc bằng nhau, em sẽ nhớ bài rất lâu đấy. Chúc em học tốt và đạt điểm cao!