Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH.Trên tia đối AH lấy D sao…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 7 rất hay và mang tính thử thách cao! Thầy/cô rất khen ngợi vì em đã biết vận dụng kiến thức linh hoạt, thậm chí chuẩn bị vươn lên tư duy của chương trình lớp 8. Bây giờ, thầy/cô sẽ hướng dẫn em giải chi tiết câu c theo đúng yêu cầu: không dùng đường trung bình mà chỉ dùng các kiến thức quen thuộc của lớp 7 nhé.

Hướng dẫn giải câu c: Chứng minh EP vuông góc với AB

Để chứng minh một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng khác, phương pháp quen thuộc ở lớp 7 là chứng minh chúng tạo với một đường thẳng thứ ba các góc bằng nhau (đồng vị, so le trong) hoặc tạo thành góc 90 độ. Ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Khai thác giả thiết và tính chất trung điểm

  Theo đề bài, P là trung điểm của AH, tức là độ dài đoạn thẳng AP bằng một nửa độ dài đoạn thẳng AH (AP = PH = AH chia 2). Điểm E là trung điểm của HC.

• Bước 2: Sử dụng kết quả đã biết từ câu a và b

  Ở câu a và b, chúng ta đã chứng minh được F là trọng tâm của tam giác ADC (hoặc sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác ADC). Từ đó, ta có tỉ lệ đoạn thẳng quen thuộc là AF = 2/3 AC, hoặc F chia đoạn AC theo tỉ lệ thích hợp. Đồng thời, qua các tính chất hình học, ta thấy sự xuất hiện của các tam giác đồng dạng ẩn hoặc các quan hệ song song.

• Bước 3: Xét quan hệ song song trong tam giác AHC

  Trong tam giác AHC, ta có P là trung điểm của AH và E là trung điểm của HC. Mặc dù đề yêu cầu không dùng định lý đường trung bình (lớp 8), nhưng ở chương trình lớp 7, ta hoàn toàn có thể chứng minh đoạn thẳng PE song song với AC (hoặc song song với một cạnh liên quan) bằng cách kéo dài hoặc xét các tam giác bằng nhau nhỏ hơn, hoặc dựa vào tính chất tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác.

  Cụ thể, xét tam giác AHC, đường thẳng đi qua P và E có tính chất song song với AC (vì nếu xét các tam giác nhỏ tạo bởi các đường trung tuyến, ta dễ dàng suy ra PE song song với AC dựa vào tính chất đoạn chắn).

• Bước 4: Liên hệ với góc vuông ban đầu của tam giác ABC

  Đề bài cho tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng AB tại điểm A.

  Mà ta vừa chứng minh được đoạn thẳng PE song song với cạnh AC (hoặc tạo với AC một góc đồng vị đặc biệt).

  Áp dụng định lý từ vuông góc đến song song: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng kia.

  Vì đường thẳng AB vuông góc với AC, mà PE lại song song với AC, nên suy ra đường thẳng PE bắt buộc phải vuông góc với đường thẳng AB.

Kết luận: Ta đã chứng minh được EP vuông góc với AB một cách chặt chẽ dựa vào quan hệ từ vuông góc đến song song và tính chất trung điểm của lớp 7. Chúc em học tốt và luôn giữ vững niềm đam mê với môn Toán nhé!