Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh BC…

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài toán hình học rất kinh điển và quan trọng trong chương trình học kỳ 2: bài toán về tam giác vuông và đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Hướng dẫn vẽ hình sơ lược để các em dễ hình dung:

• Vẽ tam giác ABC vuông tại A.
• Xác định điểm M là trung điểm của cạnh BC.
• Nối A với M, sau đó kéo dài về phía M một đoạn bằng đoạn AM để được điểm D (sao cho MD bằng MA).
• Nối D với C.

Lời giải chi tiết từng câu:

a) Chứng minh tam giác AMB bằng tam giác DMC

Để chứng minh hai tam giác này bằng nhau, chúng ta xét tam giác AMB và tam giác DMC, ta có các yếu tố sau:

• Thứ nhất: Cạnh MB bằng cạnh MC (vì theo giả thiết M là trung điểm của cạnh BC).
• Thứ hai: Góc AMB bằng góc DMC (đây là hai góc đối đỉnh).
• Thứ ba: Cạnh MA bằng cạnh MD (theo giả thiết bài toán cho).

Như vậy, tam giác AMB và tam giác DMC bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh. Từ đó, ta suy ra các cạnh và góc tương ứng bằng nhau (điều này sẽ rất hữu ích cho các câu tiếp theo).

b) Chứng minh AC vuông góc với CD

Để chứng minh đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng CD, ta cần chỉ ra góc ACD bằng 90 độ. Các bước suy luận như sau:

• Vì tam giác AMB bằng tam giác DMC (đã chứng minh ở câu a), nên ta suy ra góc MAB bằng góc MDC (hai góc tương ứng).
• Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong, nên ta suy ra đường thẳng AB song song với đường thẳng CD.
• Mặt khác, theo giả thiết ban đầu, tam giác ABC vuông tại A, nghĩa là đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng AB.
• Áp dụng định lý từ vuông góc đến song song: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
• Do đó, đường thẳng AC vuông góc với đường thẳng CD. Góc ACD bằng 90 độ.

c) Chứng minh BC bằng 2 nhân AM

Để chứng minh hệ thức này, chúng ta sẽ xét sự bằng nhau của hai tam giác lớn hơn:

• Xét tam giác ABC và tam giác CDA, ta có:
  • Cạnh góc vuông AC là cạnh chung của cả hai tam giác.
  • Góc BAC bằng góc DCA bằng 90 độ (vì tam giác ABC vuông tại A và theo kết quả câu b, AC vuông góc với CD).
  • Cạnh AB bằng cạnh CD (vì tam giác AMB bằng tam giác DMC ở câu a, suy ra hai cạnh tương ứng này bằng nhau).
• Do đó, tam giác ABC bằng tam giác CDA theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
• Từ hai tam giác bằng nhau này, ta suy ra hai cạnh huyền tương ứng bằng nhau là: Cạnh BC bằng cạnh DA.
• Mặt khác, ta có độ dài đoạn thẳng DA bằng tổng độ dài hai đoạn thẳng DM cộng với MA. Mà theo giả thiết, DM lại bằng MA, nên đoạn thẳng DA bằng 2 lần đoạn thẳng AM.
• Vì BC bằng DA và DA bằng 2 lần AM, nên ta kết luận được rằng BC bằng 2 nhân AM (điều phải chứng minh).

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này không chỉ giúp các em ôn tập về các trường hợp bằng nhau của tam giác mà còn là cơ sở để các em ghi nhớ một tính chất rất quan trọng trong tam giác vuông: Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền. Các em hãy ghi nhớ kết quả này để áp dụng nhanh cho các bài tập trắc nghiệm sau này nhé. Chúc các em học tập thật tốt!