Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy M là một điểm bất kì thuộc cạnh BC…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết một bài toán hình học rất hay và quen thuộc liên quan đến hình chữ nhật và đường trung tuyến. Các em hãy lấy giấy bút ra và theo dõi từng bước nhé.

Phần a: Chứng minh rằng ba điểm A, O, M thẳng hàng

• Bước đầu tiên, chúng ta hãy quan sát kỹ tứ giác ADME. Theo giả thiết của đề bài, đường thẳng MD vuông góc với cạnh AB, và đường thẳng ME vuông góc với cạnh AC. Lại có góc ở đỉnh A của tam giác ABC là góc vuông.
• Do đó, tứ giác ADME có tới ba góc vuông (góc tại đỉnh A, góc tại đỉnh D và góc tại đỉnh E). Theo dấu hiệu nhận biết, tứ giác ADME chính là một hình chữ nhật.
• Trong một hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ở đây, AE và DM là hai đường chéo của hình chữ nhật ADME, và O là trung điểm của đoạn thẳng DE theo giả thiết. Điều này đồng nghĩa với việc O cũng chính là trung điểm của đường chéo AM.
• Vì O là trung điểm của đoạn thẳng nối liền hai điểm A và M, nên ba điểm A, O, M chắc chắn phải nằm trên cùng một đường thẳng. Hay nói cách khác, ba điểm A, O, M thẳng hàng. Điều này đã giúp chúng ta giải quyết xong phần a.

Phần b: Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất

• Để giải quyết bài toán cực trị này, chúng ta tiếp tục khai thác tính chất của hình chữ nhật ADME vừa chứng minh ở phần a.
• Trong hình chữ nhật ADME, độ dài của hai đường chéo luôn bằng nhau. Do đó, đoạn thẳng DE sẽ có độ dài bằng với độ dài của đoạn thẳng AM.
• Để độ dài DE đạt giá trị nhỏ nhất, thì độ dài đoạn thẳng AM cũng phải đạt giá trị nhỏ nhất.
• Bây giờ, chúng ta xét từ đỉnh A hạ một đường vuông góc xuống cạnh huyền BC. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. Khi điểm M di chuyển trên cạnh BC, đoạn thẳng AM luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài đoạn vuông góc AH (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên).
• Dấu bằng xảy ra khi nào? Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi điểm M trùng với điểm H (chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC).
• Vậy, để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất, điểm M phải là hình chiếu vuông góc của điểm A xuống cạnh huyền BC.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách tư duy và trình bày một bài toán hình học lớp 8. Chúc các em học tập thật tốt!