Chào các em học sinh!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán về tam giác vuông và các tỉ số lượng giác. Đây là một dạng bài rất quan trọng, giúp các em củng cố kiến thức về định lý Pythagoras và định nghĩa các tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Đề bài: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 3cm, BC = 5cm. Hãy kiểm tra các khẳng định sau là Đúng hay Sai:

a) cos B = 5/3

b) AC = 4cm

c) C ≈ 36 độ

d) sin² B + cos² B = 1

Chúng ta sẽ lần lượt phân tích từng khẳng định nhé!

Phân tích chung: Tính độ dài cạnh còn lại AC

Trước hết, để có đầy đủ thông tin cho tam giác, chúng ta cần tìm độ dài cạnh AC. Tam giác ABC vuông tại A, nên chúng ta sẽ áp dụng định lý Pythagoras:

Trong tam giác vuông ABC:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)

Thay các giá trị đã biết vào:

\(3^2 + AC^2 = 5^2\)

\(9 + AC^2 = 25\)

\(AC^2 = 25 – 9\)

\(AC^2 = 16\)

\(AC = \sqrt{16}\)

Vì AC là độ dài của một cạnh, nên \(AC > 0\). Do đó:

\(AC = 4\) cm

Bây giờ chúng ta đã có đủ độ dài ba cạnh của tam giác vuông ABC: AB = 3cm, AC = 4cm, BC = 5cm. Chúng ta sẽ dùng các giá trị này để kiểm tra từng khẳng định.

Kiểm tra từng khẳng định:

a) cos B = 5/3

Chúng ta nhớ lại định nghĩa của cosin trong tam giác vuông:

\(cos B = \frac{Cạnh\,kề\,góc\,B}{Cạnh\,huyền}\)

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Cạnh kề với góc B là AB = 3cm.
• Cạnh huyền là BC = 5cm.

Vậy, \(cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}\)

So sánh với khẳng định a) cos B = 5/3, ta thấy \(3/5 \neq 5/3\).

Hơn nữa, chúng ta biết rằng giá trị của cosin một góc nhọn luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (nghĩa là \(0 < cos B < 1\)). Mà \(5/3 \approx 1.67\), giá trị này lớn hơn 1, nên chắc chắn đây là một khẳng định sai.

Kết luận: Khẳng định a) cos B = 5/3 là SAI.

b) AC = 4cm

Chúng ta vừa tính toán ở phần phân tích chung bên trên:

\(AC = 4\) cm

Kết luận: Khẳng định b) AC = 4cm là ĐÚNG.

c) C ≈ 36 độ

Để tìm giá trị của góc C, chúng ta có thể sử dụng tỉ số sin, cos hoặc tan. Ở đây, chúng ta có cạnh đối của góc C là AB = 3cm và cạnh huyền là BC = 5cm. Vậy, dùng sin C sẽ tiện nhất:

\(sin C = \frac{Cạnh\,đối\,góc\,C}{Cạnh\,huyền}\)

\(sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}\)

\(sin C = 0.6\)

Để tìm góc C, chúng ta sử dụng hàm arcsin (hoặc \(sin^{-1}\)) trên máy tính bỏ túi:

\(C = arcsin(0.6)\)

\(C \approx 36.8698…\) độ

Làm tròn đến độ gần nhất, ta có \(C \approx 37^\circ\).

Khẳng định c) C ≈ 36 độ. Mặc dù giá trị chính xác làm tròn là 37 độ, nhưng 36 độ là một giá trị xấp xỉ khá gần (chỉ lệch khoảng 0.87 độ). Trong nhiều trường hợp, đây có thể được coi là xấp xỉ chấp nhận được tùy theo yêu cầu độ chính xác của đề bài.

Kết luận: Khẳng định c) C ≈ 36 độ là ĐÚNG (xấp xỉ).

d) sin² B + cos² B = 1

Đây là một hằng đẳng thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã được học: \(sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1\) với mọi góc \(\alpha\).

Tuy nhiên, để chứng minh một cách chi tiết trong bài toán này, chúng ta sẽ tính giá trị của sin B và cos B rồi thay vào đẳng thức.

Chúng ta đã có \(cos B = \frac{3}{5}\).

Bây giờ tính sin B:

\(sin B = \frac{Cạnh\,đối\,góc\,B}{Cạnh\,huyền}\)

Trong tam giác ABC vuông tại A:

• Cạnh đối với góc B là AC = 4cm.
• Cạnh huyền là BC = 5cm.

Vậy, \(sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5}\)

Bây giờ, thay \(sin B = 4/5\) và \(cos B = 3/5\) vào biểu thức \(sin^2 B + cos^2 B\):

\(sin^2 B + cos^2 B = \left(\frac{4}{5}\right)^2 + \left(\frac{3}{5}\right)^2\)

\(= \frac{4^2}{5^2} + \frac{3^2}{5^2}\)

\(= \frac{16}{25} + \frac{9}{25}\)

\(= \frac{16 + 9}{25}\)

\(= \frac{25}{25}\)

\(= 1\)

Vậy, \(sin^2 B + cos^2 B = 1\) là đúng.

Kết luận: Khẳng định d) sin² B + cos² B = 1 là ĐÚNG.

Tóm tắt kết quả:

• a) cos B = 5/3: SAI
• b) AC = 4cm: ĐÚNG
• c) C ≈ 36 độ: ĐÚNG
• d) sin² B + cos² B = 1: ĐÚNG

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã ôn tập và nắm vững hơn các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. Chúc các em học tốt!