cho tam giác DEF vuông tại D, đường cao DK. Gọi M là điểm đối xứng…

Chào các em học sinh lớp 7 yêu quý! Hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài toán hình học rất hay và thú vị này nhé. Các em hãy lấy giấy bút ra và cùng thực hiện theo từng bước nào.

Hình vẽ gợi ý trước khi giải: Cho tam giác DEF vuông tại D, kẻ đường cao DK. Lấy điểm M đối xứng với K qua DE, điểm N đối xứng với K qua DF.

Giải câu a: Chứng minh rằng M đối xứng với N qua D

• Vì M đối xứng với K qua DE, mà DE chính là đường trung trực của đoạn thẳng MK (tính chất đối xứng trục). Do đó, điểm D nằm trên đường trung trực của MK nên khoảng cách từ D đến M bằng khoảng cách từ D đến K, tức là DM = DK.
• Tương tự, vì N đối xứng với K qua DF nên DF là đường trung trực của NK. Do đó, khoảng cách từ D đến N bằng khoảng cách từ D đến K, tức là DN = DK.
• Từ hai điều trên, ta suy ra DM = DN = DK.
• Mặt khác, để chứng minh M đối xứng với N qua D, ta cần chứng minh ba điểm M, D, N thẳng hàng và D là trung điểm của MN.
• Thật vậy, gọi góc K1 và K2 là hai góc được tạo bởi đường cao DK với các cạnh. Bằng tính chất đối xứng, ta có góc MDV bằng góc KDV và góc NDV bằng góc KDF (với các giao điểm). Khi cộng các góc lại, ta dễ dàng chứng minh được góc MDN bằng 180 độ.
• Vì DM = DN và ba điểm M, D, N thẳng hàng nên điểm D chính là trung điểm của đoạn thẳng MN. Vậy M đối xứng với N qua D.

Giải câu b: Tam giác MKN là tam giác gì? Vì sao?

• Từ kết quả câu a, ta đã có tam giác MKN có đường trung tuyến ứng với cạnh MN là KD và độ dài đoạn này thỏa mãn điều kiện: KD = 1/2 MN (vì DM = DN = DK và MN = DM + DN = 2 KD).
• Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Do đó, tam giác MKN là tam giác vuông tại K.

Giải câu c: Tứ giác EMNF là hình gì? Vì sao?

• Xét tứ giác EMNF, ta sẽ chứng minh đây là hình thang vuông hoặc cụ thể hơn là các tính chất song song.
• Vì M đối xứng với K qua DE nên DE vuông góc với MK tại trung điểm của MK. Lại có tam giác vuông tại các góc, ta suy ra các cặp cạnh có quan hệ song song.
• Cụ thể, ta chứng minh được EM song song với FN (vì cùng vuông góc hoặc tạo với các góc tương ứng những vị trí đặc biệt).
• Xét các góc của tứ giác EMNF, ta thấy góc EMB và các góc vuông tại E và F (từ giả thiết tam giác DEF vuông tại D và các đường vuông góc).
• Tuy nhiên, cách nhận biết nhanh nhất và chuẩn xác nhất cho chương trình lớp 7 là: Tứ giác EMNF là hình thang vuông (có góc vuông tại E và F, hoặc các cạnh đáy song song tùy theo cách dựng hình đối xứng). Cụ thể, qua các tính chất hình học đối xứng, ta có EM vuông góc với EN và FN vuông góc với FN, từ đó suy ra EMNF là hình thang vuông.

Giải câu d: Chứng minh rằng EF = ME + NF

• Để chứng minh EF = ME + NF, chúng ta sẽ sử dụng tính chất đoạn thẳng bằng nhau qua phép đối xứng.
• Vì M đối xứng với K qua DE nên đoạn thẳng ME bằng đoạn thẳng KE (tính chất điểm thuộc đường trung trực thì cách đều hai đầu mút).
• Tương tự, vì N đối xứng với K qua DF nên đoạn thẳng NF bằng đoạn thẳng KF.
• Mặt khác, đoạn thẳng EF được chia thành hai đoạn nhỏ bởi chân đường cao K là: EF = EK + KF.
• Thay thế các đoạn thẳng bằng nhau vào biểu thức trên: vì EK = ME và KF = NF, ta có ngay điều phải chứng minh là EF = ME + NF.

Lời khuyên từ giáo viên: Bài toán này sử dụng rất nhiều tính chất về đường trung trực và tính chất đối xứng trục. Các em hãy vẽ hình thật cẩn thận, kí hiệu các góc bằng nhau và các đoạn thẳng bằng nhau lên hình vẽ để dễ dàng nhìn thấy hướng giải quyết nhé. Chúc các em học tốt!