cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a.Vẽ đường cao AH.Tính các tỉ số…

Chào em, thầy/cô rất vui được giúp em giải đáp thắc mắc trong chương trình Toán lớp 9. Đây là một bài toán nền tảng rất quan trọng để các em làm quen với các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết từng bước nhé.

1. Phác thảo hình học và chuẩn bị dữ liệu

Để em dễ hình dung, thầy/cô mô tả lại hình vẽ như sau:

• Cho tam giác ABC là tam giác đều, nghĩa là ba cạnh bằng nhau và bằng a, ba góc ở đỉnh A, B, C đều bằng 60 độ.
• Vẽ đường cao AH vuông góc với cạnh BC tại điểm H.
• Vì tam giác ABC đều nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến. Do đó, điểm H nằm chính giữa cạnh BC và chia cạnh BC thành hai phần bằng nhau.
• Độ dài đoạn thẳng BH bằng một nửa cạnh BC và bằng a chia 2.
• Xét tam giác vuông AHB vuông tại H, ta cần tính độ dài cạnh góc vuông AH trước khi tìm các tỉ số lượng giác của góc B.

2. Tính độ dài đường cao AH

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông AHB vuông tại H:

Cạnh huyền AB bình phương sẽ bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông là BH và AH.

Ta có: a bình phương bằng (a/2) bình phương cộng với AH bình phương.

Suy ra: AH bình phương bằng a bình phương trừ đi (a bình phương chia 4).

Kết quả tính được: AH bình phương bằng (3 nhân a bình phương) chia 4.

Lấy căn bậc hai hai vế, ta tính được độ dài đường cao AH bằng (a nhân căn bậc hai của 3) chia 2.

3. Tính các tỉ số lượng giác của góc B (góc ABC bằng 60 độ)

Trong tam giác vuông AHB vuông tại H, góc nhọn cần tính là góc B. Ta có các cạnh đối với góc B là AH, cạnh kề là BH, và cạnh huyền là AB. Dựa vào các công thức lượng giác cơ bản, ta tính lần lượt như sau:

• Sin của góc B: Bằng cạnh đối chia cho cạnh huyền, tức là độ dài AH chia cho độ dài AB. Thay số vào ta được ((a nhân căn bậc hai của 3) chia 2) chia cho a. Rút gọn kết quả bằng căn bậc hai của 3 chia 2.
• Cô-sin của góc B: Bằng cạnh kề chia cho cạnh huyền, tức là độ dài BH chia cho độ dài AB. Thay số vào ta được (a chia 2) chia cho a. Rút gọn kết quả bằng 1 phần 2.
• Tang của góc B: Bằng cạnh đối chia cho cạnh kề, tức là độ dài AH chia cho độ dài BH. Thay số vào ta được ((a nhân căn bậc hai của 3) chia 2) chia cho (a chia 2). Rút gọn kết quả bằng căn bậc hai của 3.
• Cô-tang của góc B: Bằng cạnh kề chia cho cạnh đối, tức là độ dài BH chia cho độ dài AH. Thay số vào ta được (a chia 2) chia cho ((a nhân căn bậc hai của 3) chia 2). Rút gọn kết quả bằng 1 chia cho căn bậc hai của 3 (hoặc có thể viết là căn bậc hai của 3 chia 3 sau khi trục căn thức ở mẫu).

Lời khuyên từ giáo viên: Đối với các bài toán hình học lớp 9 có liên quan đến tam giác đều, em luôn nhớ tính chất đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Điều này giúp ta nhanh chóng tìm được độ dài các cạnh trong tam giác vuông để áp dụng chính xác công thức sin, cos, tan, cot. Chúc em học tập thật tốt và đạt điểm cao!