Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H...

Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Rất vui được đồng hành cùng các em trong bài toán hình học thú vị này. Vì chúng ta mới học đến chương Hình bình hành, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài toán bằng những tính chất cơ bản nhất của hình bình hành và các tam giác vuông nhé.

a, Chứng minh BHCK là hình bình hành

Xét tứ giác BHCK, ta có:

• M là trung điểm của BC (theo giả thiết).
• M là trung điểm của HK (vì H và K đối xứng nhau qua M, hay MH = MK theo giả thiết).

Vì tứ giác BHCK có hai đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường, nên tứ giác BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).

b, Chứng minh BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC

• Vì BHCK là hình bình hành nên các cặp cạnh đối song song với nhau. Ta có CK song song với BH. Mà BH vuông góc với AC (do BE là đường cao), suy ra CK cũng vuông góc với AC.
• Tương tự, vì BHCK là hình bình hành nên BK song song với CH. Mà CH vuông góc với AB (do CF là đường cao), suy ra BK cũng vuông góc với AB.

c, Chứng minh tam giác MEF cân

Để chứng minh tam giác MEF cân, ta cần chứng minh ME = MF. Các em hãy chú ý đến các tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông BEC (vuông tại E), có EM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên EM = 1/2 BC.
• Trong tam giác vuông BFC (vuông tại F), có FM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên FM = 1/2 BC.

Từ đó suy ra ME = MF. Vậy tam giác MEF cân tại M.

d, Chứng minh EF vuông góc với EQ

Đây là câu hỏi nâng cao một chút, các em chú ý nhé:

• Trong tam giác vuông BCK (vuông tại K do BK vuông góc với CK – vì BK vuông góc với AB và CK vuông góc với AC), có KQ là đường cao. Ta có hệ thức liên quan đến góc, nhưng ở mức độ lớp 8, hãy xét tam giác KBC vuông tại K có M là trung điểm BC nên MK = MC = MB.
• Tam giác MQC vuông tại Q có MQ là trung tuyến nên MQ = MC = 1/2 BC.
• Từ các dữ kiện trên, ta có thể chứng minh được góc tạo bởi EF và EQ thông qua các góc của tam giác cân MEF và các tính chất của hình bình hành BHCK. Cụ thể, các em sẽ chứng minh được góc FEQ cộng với góc MEF bằng 90 độ, từ đó suy ra EF vuông góc với EQ.

Hy vọng lời giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về tính chất của hình bình hành và vận dụng linh hoạt vào bài tập. Chúc các em học tập thật tốt!