Cho tam giác OAB vuông cân, OA=OB=a. Hãy xác định độ dài của các vec…

Chào em, thầy/cô rất vui vì nhận được câu hỏi của em. Đây là một dạng bài tập rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Hình học lớp 10, giúp em nắm vững quy tắc cộng, trừ vectơ và tích của vectơ với một số. Để giúp em hiểu rõ bản chất thay vì chỉ học thuộc công thức, chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết từng ý nhé.

Trước tiên, để làm được bài này, em cần ghi nhớ các dữ kiện quan trọng từ đề bài:

• Tam giác OAB vuông cân tại O, nghĩa là góc AOB bằng 90 độ.
• Độ dài hai cạnh góc vuông là OA = OB = a.
• Độ dài cạnh huyền AB được tính bằng định lý Pytago trong tam giác vuông OAB: AB = căn bậc hai của (OA bình phương cộng OB bình phương) = căn bậc hai của (a bình phương cộng a bình phương) = a nhân căn bậc hai của 2.

1. Tính độ dài của tổng hai vectơ OA và OB

Giải thích: Gọi C là đỉnh thứ tư để hình thành hình bình hành OACB. Do tam giác OAB vuông cân tại O có OA = OB nên hình bình hành OACB thực chất là một hình vuông cạnh a. Tổng của hai vectơ OA và OB chính là vectơ OC, có điểm đầu là O và điểm cuối là C. Độ dài của tổng hai vectơ này chính là độ dài đoạn thẳng OC. Trong hình vuông OACB cạnh a, đường chéo OC được tính theo công thức cạnh nhân căn bậc hai của 2.

Kết quả: Độ dài vectơ tổng bằng a nhân căn bậc hai của 2.

2. Tính độ dài của hiệu hai vectơ OA và OB

Giải thích: Theo quy tắc trừ vectơ, hiệu của vectơ OA trừ đi vectơ OB chính là bằng vectơ BA (điểm cuối của vectơ trừ là B, điểm đầu là A, hướng từ B đến A). Độ dài của hiệu hai vectơ này chính là độ dài đoạn thẳng BA (hay chính là độ dài cạnh huyền của tam giác vuông OAB).

Kết quả: Độ dài vectơ hiệu bằng a nhân căn bậc hai của 2.

3. Tính độ dài của vectơ OA cộng với 2 lần vectơ OB

Giải thích: Để dễ hình dung, ta gọi M là một điểm nằm trên tia đối của tia OB (hoặc cùng hướng với OB tùy theo cách dựng, ở đây ta đặt thêm điểm để dễ tính toán bằng hệ trục tọa độ). Cách nhanh nhất và ít nhầm lẫn nhất cho dạng toán này là gắn hệ trục tọa độ Oxy vào tam giác OAB:

• Cho gốc tọa độ O trùng với điểm (0; 0).
• Điểm A nằm trên trục Ox nên có tọa độ A(a; 0), suy ra vectơ OA có tọa độ (a; 0).
• Điểm B nằm trên trục Oy nên có tọa độ B(0; a), suy ra vectơ OB có tọa độ (0; a).

Khi đó, vectơ OB nhân 2 sẽ có tọa độ là (0; 2a). Lấy vectơ OA cộng với vectơ (2 lần OB) ta được tọa độ vectơ tổng là (a + 0; 0 + 2a) tức là (a; 2a). Độ dài của vectơ này được tính bằng căn bậc hai của (a bình phương cộng với bình phương của 2a).

Kết quả: Độ dài bằng căn bậc hai của (a bình phương cộng 4a bình phương), kết quả là a nhân căn bậc hai của 5.

4. Tính độ dài của 2 lần vectơ OA trừ đi 3 lần vectơ OB

Giải thích: Ta tiếp tục sử dụng hệ trục tọa độ Oxy như ở phần 3 để tính toán một cách chính xác nhất:

• 2 lần vectơ OA sẽ có tọa độ là (2a; 0).
• 3 lần vectơ OB sẽ có tọa độ là (0; 3a).
• Lấy tọa độ của (2 lần OA) trừ đi tọa độ của (3 lần OB), ta được vectơ mới có tọa độ là (2a – 0; 0 – 3a) tức là (2a; -3a).

Độ dài của vectơ này được tính bằng căn bậc hai tổng bình phương hoành độ và tung độ: căn bậc hai của (bình phương của 2a cộng với bình phương của âm 3a).

Kết quả: Độ dài bằng căn bậc hai của (4a bình phương cộng 9a bình phương), kết quả là a nhân căn bậc hai của 13.

Thầy/cô hy vọng với phần giải thích chi tiết từng bước và phương pháp sử dụng hệ trục tọa độ ở các câu nâng cao, em đã hiểu rõ cách làm và có thể tự tin giải các bài tập tương tự nhé. Chúc em học tốt môn Toán lớp 10!