Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 cm, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 c…
Xin chào các em, hôm nay thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán về tam giác vuông rất thú vị.
Bài toán: Cho tam giác vuông có cạnh huyền bằng 13 cm, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm, hỏi diện tích của tam giác vuông đó bằng bao nhiêu?
Trước hết, chúng ta cần phân tích đề bài để xác định những thông tin đã cho và yêu cầu của bài toán.
Tóm tắt đề bài:
- Tam giác vuông.
- Cạnh huyền: \(c = 13\) cm.
- Hiệu độ dài hai cạnh góc vuông: 7 cm.
- Yêu cầu: Tính diện tích tam giác vuông.
Cách giải:
Bước 1: Đặt ẩn cho các cạnh góc vuông.
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là \(a\) và \(b\) (với \(a, b > 0\)).
Theo đề bài, hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm, nên ta có:
Giả sử \(a\) là cạnh dài hơn, vậy ta có: \(a – b = 7\) (1)
Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn một cạnh theo cạnh còn lại. Chẳng hạn, ta biểu diễn \(a\) theo \(b\):
\(a = b + 7\)
Bước 2: Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông này, ta có:
\(a^2 + b^2 = c^2\)
Thay \(c = 13\) vào, ta được:
\(a^2 + b^2 = 13^2 = 169\) (2)
Bước 3: Thay biểu thức của \(a\) từ Bước 1 vào phương trình (2) và giải phương trình tìm \(b\).
Thay \(a = b + 7\) vào phương trình (2):
\((b + 7)^2 + b^2 = 169\)
Khai triển biểu thức:
\(b^2 + 14b + 49 + b^2 = 169\)
Gom các hạng tử đồng dạng:
\(2b^2 + 14b + 49 – 169 = 0\)
\(2b^2 + 14b – 120 = 0\)
Chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa phương trình:
\(b^2 + 7b – 60 = 0\)
Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng công thức nghiệm.
Phân tích thành nhân tử: Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -60 và tổng bằng 7. Hai số đó là 12 và -5.
\(b^2 + 12b – 5b – 60 = 0\)
\(b(b + 12) – 5(b + 12) = 0\)
\((b – 5)(b + 12) = 0\)
Từ đây, ta có hai trường hợp:
- \(b – 5 = 0 \Rightarrow b = 5\)
- \(b + 12 = 0 \Rightarrow b = -12\)
Vì \(b\) là độ dài cạnh góc vuông, nên \(b\) phải là số dương. Do đó, ta loại trường hợp \(b = -12\).
Vậy, độ dài cạnh góc vuông thứ nhất là \(b = 5\) cm.
Bước 4: Tìm độ dài cạnh góc vuông còn lại \(a\).
Sử dụng mối quan hệ \(a = b + 7\):
\(a = 5 + 7 = 12\) cm.
Kiểm tra lại: \(a^2 + b^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169\), và \(c^2 = 13^2 = 169\). Điều này khớp với định lý Pytago.
Bước 5: Tính diện tích của tam giác vuông.
Diện tích của tam giác vuông được tính bằng công thức:
\(S = \frac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\)
Trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông chính là đáy và chiều cao.
\(S = \frac{1}{2} \times a \times b\)
\(S = \frac{1}{2} \times 12 \times 5\)
\(S = \frac{1}{2} \times 60\)
\(S = 30\) cm2
Kết luận:
Vậy, diện tích của tam giác vuông đó là 30 cm2.
Thầy/cô hy vọng bài giải chi tiết này giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán liên quan đến tam giác vuông. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!
Gọi \(2\) cạnh góc vuông lần lượt là \(x\) và \(y\) (\(cm\))(\(x>y>0\))
Vì \(2\) cạnh góc vuông hơn kém nhau \(7cm\) nên: \(x=y+7\)\((1)\)
Vì tam giác vuông có cạnh huyền bằng \(13cm\) nên: \(x^2+y^2=13^2\)\((2)\)
Từ \((1)\) và \((2)\), ta có hệ phương trình:
\({(x=y+7(3)),(x^2+y^2=13^2(4)):}\)
Thay \((3)\) vào \((4)\), ta được:
\((y+7)^2+y^2=169\)
\(2y^2+14y-120=0\)
\((y+12)(y-5)=0\)
\(TH1:y+12=0<=>y=-12\) (loại)
\(TH2:y-5=0<=>y=5;x=12\) (thỏa mãn)
Diện tích tam giác vuông là: \([12.5]/2=30\) (\(cm^2\))
Vậy diện tích của tam giác vuông là \(30\) \(cm^2\)
Đáp án:
Diện tích tam giác vuông là \(30cm^2\).
Giải thích các bước giải:
Gọi cạnh góc vuông bé là \(x\) cm, cạnh góc vuông lớn là \(x+7\) cm.
Theo định lý Pythagore, ta có:
\(x^2+(x+7)^2=13^2\)
\(⇔x^2+x^2+14x+49=169\)
\(⇔2x^2+14x-120=0\)
\(⇔x^2+7x-60=0\)
\(⇔(x-5)(x+12)=0\)
\(⇔\left[\begin{matrix}x=5\\ x=-12\end{matrix}\right.\)
Vì độ dài cạnh phải dương nên \(x=5\).
Vậy hai cạnh góc vuông là \(5cm\) và \(12cm\).
Diện tích tam giác vuông là:
\(S=\dfrac{1}{2}.5.12=30cm^2\)
Vậy diện tích tam giác vuông là \(30cm^2\).
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment