Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về tỉ số lượng giác trong tam giác vuông. Đây là một dạng bài rất cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Cho tam giác vuông có một góc nhọn bằng \(a\) biết \(\cos a = 3/5\). Khi đó \(\tan a\) bằng bao nhiêu?

Chúng ta hãy cùng phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích đề bài:

• Chúng ta có một tam giác vuông.
• Có một góc nhọn là \(a\).
• Đã biết giá trị của \(\cos a = 3/5\).
• Yêu cầu là tính giá trị của \(\tan a\).

Để tính \(\tan a\), chúng ta cần nhớ công thức liên hệ giữa \(\tan a\) với \(\sin a\) và \(\cos a\):

\(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\)

Vì chúng ta đã biết \(\cos a\), nên việc cần làm tiếp theo là tìm giá trị của \(\sin a\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm giá trị của \(\sin a\).

Trong một tam giác vuông, với một góc nhọn \(a\), chúng ta luôn có một hệ thức cơ bản rất quan trọng đó là hệ thức Pitago cho các tỉ số lượng giác:

\(\sin^2 a + \cos^2 a = 1\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay giá trị của \(\cos a\) đã biết vào công thức này:

\(\sin^2 a + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1\)

Tính toán \(\left(\frac{3}{5}\right)^2\):

\(\sin^2 a + \frac{9}{25} = 1\)

Chuyển \(\frac{9}{25}\) sang vế phải để tìm \(\sin^2 a\):

\(\sin^2 a = 1 – \frac{9}{25}\)

\(\sin^2 a = \frac{25}{25} – \frac{9}{25}\)

\(\sin^2 a = \frac{16}{25}\)

Bây giờ, chúng ta lấy căn bậc hai hai vế để tìm \(\sin a\):

\(\sin a = \sqrt{\frac{16}{25}}\)

\(\sin a = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}}\)

\(\sin a = \frac{4}{5}\)

Lưu ý: Vì \(a\) là góc nhọn (trong tam giác vuông), nên \(\sin a\) luôn có giá trị dương. Vì vậy, chúng ta chỉ lấy giá trị \(\frac{4}{5}\) mà không lấy \(\left(-\frac{4}{5}\right)\).

Bước 2: Tính giá trị của \(\tan a\).

Khi đã có \(\sin a\) và \(\cos a\), chúng ta sử dụng công thức liên hệ:

\(\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}\)

Thay các giá trị chúng ta vừa tìm được vào công thức:

\(\tan a = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}}\)

Để đơn giản phân số này, chúng ta có thể nhân cả tử và mẫu với \(5\):

\(\tan a = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3}\)

\(\tan a = \frac{4}{3}\)

Kết luận:

Vậy, với tam giác vuông có một góc nhọn \(a\) và \(\cos a = 3/5\), thì \(\tan a = 4/3\).

Mở rộng (Cách khác để hình dung):

Các em cũng có thể hình dung bài toán này bằng cách vẽ một tam giác vuông ABC, vuông tại A, với góc B là góc \(a\).
Theo định nghĩa: \(\cos a = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}}\)
Nếu \(\cos a = 3/5\), ta có thể coi cạnh kề của góc \(a\) (ví dụ, cạnh AB) là \(3k\) và cạnh huyền (BC) là \(5k\) (với \(k\) là một số dương nào đó).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ABC:

\(AB^2 + AC^2 = BC^2\)
\((3k)^2 + AC^2 = (5k)^2\)
\(9k^2 + AC^2 = 25k^2\)
\(AC^2 = 25k^2 – 9k^2\)
\(AC^2 = 16k^2\)
\(AC = \sqrt{16k^2} = 4k\)
(Vì AC là độ dài cạnh nên luôn dương)

Khi đó, để tìm \(\tan a\), chúng ta dùng định nghĩa:

\(\tan a = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh kề}}\)
\(\tan a = \frac{AC}{AB} = \frac{4k}{3k} = \frac{4}{3}\)

Cả hai cách đều cho ra cùng một kết quả, các em có thể chọn cách nào mình hiểu và cảm thấy dễ làm hơn nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!