Chào các em học sinh! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán lượng giác thú vị. Bài toán này yêu cầu chúng ta tính giá trị của một biểu thức và sau đó tìm tổng \(a+2b\) dựa trên kết quả đã cho.

Đề bài: Cho \(tan x = 2\) với \(0 < x < \frac{\pi}{2}\). Biết \(\frac{sin x+\sqrt{3}.cosx}{2cosx-4sinx}=-\frac{a+\sqrt{3}}{b};\) \(a;b∈N\), tính \(a+2b\).

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có biểu thức cần tính giá trị là: \(\frac{sin x+\sqrt{3}.cosx}{2cosx-4sinx}\)

Để đơn giản hóa biểu thức này khi biết \(tan x\), cách phổ biến nhất là chia cả tử số và mẫu số cho \(cos x\).

Bước 1: Kiểm tra điều kiện của \(cos x\).
Vì \(0 < x < \frac{\pi}{2}\) (góc phần tư thứ nhất), chúng ta biết rằng \(cos x > 0\). Do đó, việc chia cho \(cos x\) là hoàn toàn hợp lệ.

Bước 2: Chia tử số và mẫu số cho \(cos x\).
Chúng ta có:

\(
\frac{sin x+\sqrt{3}.cosx}{2cosx-4sinx} = \frac{\frac{sin x}{cos x}+\frac{\sqrt{3}.cosx}{cos x}}{\frac{2cosx}{cos x}-\frac{4sinx}{cos x}}
\)

Bước 3: Sử dụng định nghĩa của \(tan x\).
Nhớ rằng \(tan x = \frac{sin x}{cos x}\). Thay thế vào biểu thức trên:

\(
= \frac{tan x+\sqrt{3}}{2-4tan x}
\)

Bước 4: Thay giá trị \(tan x = 2\) vào biểu thức.
Theo đề bài, \(tan x = 2\). Chúng ta thay giá trị này vào:

\(
= \frac{2+\sqrt{3}}{2-4(2)}
\)

\(
= \frac{2+\sqrt{3}}{2-8}
\)

\(
= \frac{2+\sqrt{3}}{-6}
\)

Bước 5: So sánh với dạng \(\-\frac{a+\sqrt{3}}{b}\).
Chúng ta đã tính được giá trị của biểu thức là \(\frac{2+\sqrt{3}}{-6}\). Chúng ta có thể viết lại nó dưới dạng phù hợp với đề bài:

\(
\frac{2+\sqrt{3}}{-6} = -\frac{2+\sqrt{3}}{6}
\)

Đề bài cho biết biểu thức này bằng \(-\frac{a+\sqrt{3}}{b}\). Khi so sánh, ta có thể dễ dàng xác định được \(a\) và \(b\):

\(a = 2\)

\(b = 6\)

Bước 6: Kiểm tra điều kiện của \(a\) và \(b\).
Đề bài yêu cầu \(a, b \in N\) (tập hợp số tự nhiên). Chúng ta thấy rằng \(a=2\) và \(b=6\) đều là các số tự nhiên. Vậy điều kiện thỏa mãn.

Bước 7: Tính giá trị của \(a+2b\).
Cuối cùng, chúng ta cần tính \(a+2b\):

\(
a+2b = 2 + 2(6)
\)

\(
a+2b = 2 + 12
\)

\(
a+2b = 14
\)

Vậy, giá trị cần tìm là \(14\).

Đáp số: \(a+2b = 14\)

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chú ý các bước biến đổi biểu thức lượng giác và cách so sánh để tìm các tham số \(a, b\).