Bài toán yêu cầu chúng ta tìm số phần tử của tập hợp \(A \cap \mathbb{N}\), với tập hợp \(A\) được định nghĩa như sau:
\(A = \{x \in \mathbb{R} : (2x-11)(x^2+3) \leq 0\}\).

Trước tiên, chúng ta cần phân tích bất phương trình đã cho:
\( (2x-11)(x^2+3) \leq 0 \)

Chúng ta sẽ xem xét từng nhân tử của bất phương trình này.

Nhân tử thứ nhất: \( (2x-11) \)
Để tìm dấu của nhân tử này, ta xét \( 2x-11 = 0 \).
\( 2x = 11 \)
\( x = \frac{11}{2} \)
\( x = 5.5 \)

Khi \( x < 5.5 \), thì \( 2x-11 < 0 \). Khi \( x > 5.5 \), thì \( 2x-11 > 0 \).

Nhân tử thứ hai: \( (x^2+3) \)
Chúng ta cần xem xét dấu của \( x^2+3 \).
Ta biết rằng \( x^2 \geq 0 \) với mọi số thực \(x\).
Do đó, \( x^2+3 \geq 0+3 \), tức là \( x^2+3 \geq 3 \).
Điều này có nghĩa là \( x^2+3 \) luôn luôn dương với mọi số thực \(x\).

Bây giờ, chúng ta quay trở lại bất phương trình chính: \( (2x-11)(x^2+3) \leq 0 \).
Vì \( (x^2+3) \) luôn dương, để tích \( (2x-11)(x^2+3) \) không dương (tức là nhỏ hơn hoặc bằng 0), thì nhân tử \( (2x-11) \) phải không dương (tức là nhỏ hơn hoặc bằng 0).

Vậy, ta cần giải bất phương trình:
\( 2x-11 \leq 0 \)
\( 2x \leq 11 \)
\( x \leq \frac{11}{2} \)
\( x \leq 5.5 \)

Tập hợp \(A\) bao gồm tất cả các số thực \(x\) thỏa mãn \( x \leq 5.5 \).
\( A = \{x \in \mathbb{R} : x \leq 5.5\} \)

Tiếp theo, chúng ta cần tìm tập hợp \(A \cap \mathbb{N}\).
Tập hợp \( \mathbb{N} \) là tập hợp các số tự nhiên, thường được hiểu là \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\} \) hoặc \( \mathbb{N} = \{1, 2, 3, …\} \). Trong chương trình Toán lớp 10, ta thường sử dụng \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, …\} \).

Chúng ta cần tìm các số tự nhiên \(x\) sao cho \( x \leq 5.5 \).
Các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện này là:
\( x = 0 \)
\( x = 1 \)
\( x = 2 \)
\( x = 3 \)
\( x = 4 \)
\( x = 5 \)

Vậy, tập hợp \(A \cap \mathbb{N}\) là:
\( A \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \)

Bây giờ, chúng ta đếm số phần tử của tập hợp \(A \cap \mathbb{N}\).
Có 6 phần tử trong tập hợp này.

Do đó, số phần tử của \(A \cap \mathbb{N}\) bằng 6.

Tóm lại:
1. Phân tích bất phương trình \( (2x-11)(x^2+3) \leq 0 \).
2. Nhận xét \( x^2+3 > 0 \) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
3. Suy ra \( 2x-11 \leq 0 \), hay \( x \leq 5.5 \).
4. Tập hợp \(A = \{x \in \mathbb{R} : x \leq 5.5\}\).
5. Tìm các số tự nhiên \(x\) thỏa mãn \( x \leq 5.5 \): \( \{0, 1, 2, 3, 4, 5\} \).
6. Đếm số phần tử, ta được 6.

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!