Bài toán: Cho tam giác \(DEF\) biết DE = 6cm, DF = 8cm, EF = 10cm.

Giải:

a) Chứng minh tam giác \(DEF\) vuông:

Để chứng minh tam giác \(DEF\) vuông, chúng ta sẽ sử dụng định lý đảo của định lý Pitago. Ta sẽ kiểm tra xem bình phương cạnh lớn nhất có bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại hay không.

Ta có:

\(DE^2 = 6^2 = 36\) (cm\(^2\))

\(DF^2 = 8^2 = 64\) (cm\(^2\))

\(EF^2 = 10^2 = 100\) (cm\(^2\))

Ta nhận thấy: \(DE^2 + DF^2 = 36 + 64 = 100\) (cm\(^2\)).

Và \(EF^2 = 100\) (cm\(^2\)).

Vì \(DE^2 + DF^2 = EF^2\), theo định lý đảo của định lý Pitago, ta suy ra tam giác \(DEF\) vuông tại D.

b) Đường cao DK. Tính DK, FK:

DK là đường cao hạ từ đỉnh D xuống cạnh huyền EF. Trong tam giác vuông, ta có các hệ thức về cạnh và đường cao.

Tính DK:

Ta có công thức diện tích tam giác \(DEF\) bằng hai cách:

Cách 1: \(S_{DEF} = \frac{1}{2} \times DE \times DF = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24\) (cm\(^2\))

Cách 2: \(S_{DEF} = \frac{1}{2} \times DK \times EF = \frac{1}{2} \times DK \times 10\) (cm\(^2\))

Cho hai cách tính diện tích bằng nhau:

\(\frac{1}{2} \times DK \times 10 = 24\)

\(5 \times DK = 24\)

\(DK = \frac{24}{5} = 4.8\) (cm)

Tính FK:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(DEF\) với đường cao DK:

\(DF^2 = FK \times EF\)

\(8^2 = FK \times 10\)

\(64 = FK \times 10\)

\(FK = \frac{64}{10} = 6.4\) (cm)

c) Giải tam giác \(EDK\):

Tam giác \(EDK\) là tam giác vuông tại K (vì DK là đường cao).

Ta đã biết:

\(DE = 6\) cm

\(DK = 4.8\) cm

Tính EK:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông \(EDK\):

\(DE^2 = DK^2 + EK^2\)

\(6^2 = 4.8^2 + EK^2\)

\(36 = 23.04 + EK^2\)

\(EK^2 = 36 – 23.04 = 12.96\)

\(EK = \sqrt{12.96} = 3.6\) (cm)

Tính các góc:

Góc \(\angle E\):

\(\sin E = \frac{DK}{DE} = \frac{4.8}{6} = 0.8\)

\(E = \arcsin(0.8) \approx 53.13^\circ\)

Góc \(\angle DKE\):

Vì DK là đường cao nên \(\angle DKE = 90^\circ\).

Góc \(\angle EDK\):

Trong tam giác vuông \(EDK\), tổng ba góc bằng 180 độ.

\(\angle EDK = 180^\circ – 90^\circ – \angle E \approx 180^\circ – 90^\circ – 53.13^\circ = 36.87^\circ\)

Vậy, ta đã giải tam giác \(EDK\) với các cạnh EK = 3.6cm, DK = 4.8cm, DE = 6cm và các góc E \(\approx 53.13^\circ\), \(\angle DKE = 90^\circ\), \(\angle EDK \approx 36.87^\circ\).

d) Phân giác DM \(triangleDEF\). Tính ME, MF:

DM là tia phân giác của góc \(\angle EDF\). Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{ME}{MF} = \frac{DE}{DF}\)

Thay số:

\(\frac{ME}{MF} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)

Do đó, \(ME = \frac{3}{4} MF\).

Ta cũng biết \(ME + MF = EF = 10\) cm.

Thay \(ME = \frac{3}{4} MF\) vào phương trình trên:

\(\frac{3}{4} MF + MF = 10\)

\(\frac{7}{4} MF = 10\)

\(MF = 10 \times \frac{4}{7} = \frac{40}{7}\) (cm)

Bây giờ, ta tính ME:

\(ME = 10 – MF = 10 – \frac{40}{7} = \frac{70 – 40}{7} = \frac{30}{7}\) (cm)

Vậy, ME = \(\frac{30}{7}\) cm và MF = \(\frac{40}{7}\) cm.

Các em có câu hỏi nào về bài toán này không?