Cho tứ diện ABCD . Gọi E là trung điểm AB, F là trọng tâm tam giác…

Chào các em học sinh lớp 11 yêu quý! Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải quyết bài toán hình học không gian rất hay và quen thuộc này. Các em hãy lấy giấy bút ra, vẽ hình thật cẩn thận và cùng thầy bước vào từng câu hỏi nhé.

Câu a: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (AFE) và mặt phẳng (BCD)

Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, phương pháp chung của chúng ta là đi tìm hai điểm chung phân biệt thuộc cả hai mặt phẳng đó.

• Điểm chung thứ nhất rất dễ thấy: Đề bài cho E là trung điểm của cạnh AB. Vì điểm E nằm trên đoạn thẳng AB mà AB lại nằm trong mặt phẳng (AFE), nên E thuộc mặt phẳng (AFE). Mặt khác, E cũng nằm trên cạnh AB của tứ diện ABCD, do đó E chắc chắn thuộc mặt phẳng (BCD). Vậy điểm E chính là điểm chung thứ nhất.
• Để tìm điểm chung thứ hai, ta cần kéo dài các đường thẳng trong mặt phẳng này để cắt mặt phẳng kia. Trong mặt phẳng (ACD), gọi I là giao điểm của đường thẳng AF và đường thẳng CD. Ta xét xem I thuộc những mặt phẳng nào:
  • Vì I nằm trên đường thẳng AF mà AF nằm trong mặt phẳng (AFE), nên điểm I thuộc mặt phẳng (AFE).
  • Vì I là giao điểm của AF với CD, mà CD lại nằm trong mặt phẳng (BCD), nên điểm I thuộc mặt phẳng (BCD).

  Do đó, điểm I chính là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (AFE) và (BCD).

Kết luận câu a: Giao tuyến của mặt phẳng (AFE) và mặt phẳng (BCD) chính là đường thẳng đi qua hai điểm E và I, viết là đường thẳng EI.

Câu b: Tìm giao điểm J của đường thẳng EF và mặt phẳng (BCD)

Phương pháp để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng là chọn một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đó, sao cho mặt phẳng phụ này cắt mặt phẳng (BCD) theo một giao tuyến dễ xác định. Giao tuyến này cắt đường thẳng EF tại đâu thì đó chính là điểm J cần tìm.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ chính là mặt phẳng (AFE). Nhận thấy đường thẳng EF nằm hoàn toàn trong mặt phẳng này.
• Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ (AFE) và mặt phẳng (BCD). Theo kết quả ở câu a, giao tuyến này chính là đường thẳng EI.
• Bước 3: Trong mặt phẳng (AFE), gọi J là giao điểm của đường thẳng EF và đường thẳng EI.

Kết luận câu b: Điểm J chính là giao điểm của đường thẳng EF và mặt phẳng (BCD), vì J vừa nằm trên EF, vừa nằm trên đường thẳng EI (thuộc mặt phẳng (BCD)).

Câu c: Trên cạnh BC lấy điểm H. Tìm giao điểm K của đường thẳng CD và mặt phẳng (EHF)

Tương tự như câu b, ta cũng sử dụng phương pháp chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng CD để tìm giao điểm.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ là (ABC) chứa đường thẳng CD? Không, đường thẳng CD nằm trong mặt phẳng (ACD) và (BCD). Ở đây, ta chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng cần tìm giao điểm (cụ thể là mặt phẳng chứa CD và điểm H hoặc điểm E, F). Cách tối ưu nhất là xét trong mặt phẳng (ABC). Ta thấy điểm E thuộc AB, điểm H thuộc BC, nên ta có đường thẳng EH.
• Bước 2: Xét sự giao nhau giữa mặt phẳng (EHF) và mặt phẳng (ACD) hoặc mặt phẳng (BCD). Ta thấy đường thẳng EF (nằm trong mặt phẳng (EHF)) cắt đường thẳng CD tại một điểm thông qua các đường thẳng đồng phẳng.
• Cách nhìn trực quan trong không gian: Ta kéo dài đường thẳng EH cắt đường thẳng AC tại một điểm (nếu chúng không song song). Tuy nhiên, cách nhanh nhất là dựa vào các điểm đã cho: Xét mặt phẳng (ABC), đường thẳng EH cắt AC tại điểm M. Sau đó xét trong mặt phẳng (ACD), nối M với F ta được đường thẳng MF. Đường thẳng MF này cắt CD tại một điểm, đó chính là điểm K cần tìm.

Kết luận câu c: Điểm K là giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (EHF), được xác định bằng cách kéo dài đoạn MF cắt CD tại K (với M là giao điểm của EH và AC).

Câu d: Tìm giao điểm N của đường thẳng AD và mặt phẳng (EHF)

Đây là câu hỏi cuối cùng và đòi hỏi sự tổng hợp từ các câu trên. Chúng ta tiếp tục áp dụng phương pháp chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng AD.

• Bước 1: Ta chọn mặt phẳng phụ chứa đường thẳng AD chính là mặt phẳng (ACD).
• Bước 2: Đi tìm giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (EHF).
  • Ta đã có điểm F là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng này (vì F là trọng tâm tam giác ACD nên F nằm trong mặt phẳng (ACD), đồng thời F thuộc mặt phẳng (EHF)).
  • Ta lại có điểm K (vừa tìm được ở câu c) là điểm chung thứ hai. Vì K nằm trên đường thẳng CD (thuộc mặt phẳng (ACD)) và K cũng nằm trong mặt phẳng (EHF).

  Do đó, giao tuyến của mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (EHF) chính là đường thẳng FK.

• Bước 3: Trong mặt phẳng (ACD), ta gọi N là giao điểm của đường thẳng AD và đường thẳng FK.

Kết luận câu d: Điểm N chính là giao điểm của đường thẳng AD và mặt phẳng (EHF).

Thế là chúng ta đã hoàn thành trọn vẹn cả 4 phần của bài toán hình học không gian này rồi. Các em hãy ghi chép bài đầy đủ vào vở, vẽ lại hình thật sạch sẽ và suy ngẫm lại các bước lập luận để nắm chắc phương pháp nhé. Chúc các em học tập thật tốt!