Cho tứ diện ABCD và điểm 𝑆 ∉ (𝐴𝐵𝐶𝐷). Gọi M, N là hai điểm lần…

Chào em, thầy rất vui khi thấy em chủ động trong việc học môn Hình học không gian lớp 11. Đây là dạng bài toán kinh điển về giao điểm và chứng minh đường thẳng đồng quy. Để giải bài này, em hãy theo dõi các bước tư duy logic dưới đây nhé.

a) Tìm giao điểm I = BN ∩ (SAC)

Để tìm giao điểm của một đường thẳng và một mặt phẳng, ta cần tìm một mặt phẳng phụ chứa đường thẳng đó rồi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ với mặt phẳng đã cho.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ là (SBD) vì đường thẳng BN nằm trong mặt phẳng này.
• Bước 2: Tìm giao tuyến của mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (SAC). Ta thấy S là điểm chung thứ nhất. Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì O nằm trên AC nên O nằm trong mặt phẳng (SAC), vì O nằm trên BD nên O nằm trong mặt phẳng (SBD). Vậy SO là giao tuyến của (SBD) và (SAC).
• Bước 3: Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của BN và SO.
• Kết luận: Vì I thuộc BN và I thuộc SO (mà SO nằm trong (SAC)), nên I chính là giao điểm của BN và (SAC).

b) Tìm giao điểm J = MN ∩ (SAC)

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ chọn mặt phẳng phụ chứa MN.

• Bước 1: Chọn mặt phẳng phụ là (SBC) vì M nằm trên BC và N nằm trên SD (nhưng để dễ hơn, ta có thể chọn mặt phẳng (SBC) nếu MN nằm trong đó, hoặc xét mặt phẳng (SBC) mở rộng). Cách tốt nhất ở đây là xét mặt phẳng (SBC) nếu N nằm trên cạnh SD, ta có thể dùng mặt phẳng (SCD) hoặc (SBC). Tuy nhiên, xét mặt phẳng (SBC) không chứa N. Vậy ta chọn mặt phẳng (SBC) không ổn.
• Bước 2: Ta chọn mặt phẳng phụ là (SCD). N nằm trên SD nên N thuộc (SCD). Ta cần tìm giao tuyến của (SCD) và (SAC). Giao tuyến này chính là SC.
• Bước 3: Trong mặt phẳng (SCD), gọi J là giao điểm của MN và SC.
• Kết luận: Vì J thuộc MN và J thuộc SC (mà SC nằm trong (SAC)), nên J chính là giao điểm của MN và (SAC).

c) Chứng minh C, I, J thẳng hàng

Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng nào đó.

• Ta có I là giao điểm của BN và (SAC), suy ra I thuộc mặt phẳng (SAC).
• Ta có J là giao điểm của MN và (SAC), suy ra J thuộc mặt phẳng (SAC).
• Điểm C hiển nhiên thuộc mặt phẳng (SAC).
• Mặt khác, ta xét hai mặt phẳng (SAC) và mặt phẳng (BCN). Cả ba điểm C, I, J đều nằm trên mặt phẳng (SAC).
• Đồng thời, C thuộc (BCN), I thuộc BN (nên I thuộc (BCN)), J thuộc MN (nên J thuộc (BCN)).
• Vậy cả ba điểm C, I, J đều nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (BCN).
• Vì giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng duy nhất, nên C, I, J phải nằm trên đường thẳng đó.
• Kết luận: C, I, J thẳng hàng.

Hy vọng phần giải thích này giúp em hiểu rõ bản chất vấn đề. Hãy luyện tập thêm các bài toán tìm giao tuyến để rèn luyện tư duy không gian nhé!