Cho tứ giác ABCD (AB//CD) có : AC=BD, Qua B kẻ đường thẳng song song…

Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Thầy/cô rất vui được đồng hành cùng các em trong bài toán hình học này. Đây là một bài toán rất hay về hình thang cân và các tính chất của tam giác. Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải chi tiết từng ý nhé.

Hướng dẫn giải chi tiết:

a, Chứng minh tam giác BDE cân

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân, chúng ta thường chứng minh tam giác đó có hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau. Trong bài này, chúng ta sẽ đi chứng minh hai cạnh bằng nhau.

• Trước hết, từ giả thiết ta có đoạn thẳng AB song song với đoạn thẳng CD (hoặc CE vì E nằm trên đường thẳng CD).
• Mặt khác, theo đề bài ta lại có đường thẳng BE song song với đường thẳng AC.
• Xét tứ giác ABEC, ta thấy tứ giác này có hai cặp cạnh đối song song (AB song song với CE và AC song song với BE). Do đó, tứ giác ABEC là một hình bình hành.
• Theo tính chất của hình bình hành, các cạnh đối sẽ bằng nhau, suy ra cạnh BE bằng với cạnh AC.
• Mặt khác, theo giả thiết bài toán cho biết độ dài cạnh AC bằng độ dài cạnh BD.
• Từ hai điều trên, ta suy ra cạnh BE bằng cạnh BD (vì cùng bằng cạnh AC).
• Xét tam giác BDE, ta có BE bằng BD, nên tam giác BDE là tam giác cân tại đỉnh B. (Điều phải chứng minh).

b, Chứng minh tam giác ACD bằng tam giác BDC

Để chứng minh hai tam giác bằng nhau, chúng ta tìm các yếu tố bằng nhau theo các trường hợp bằng nhau quen thuộc (như cạnh – cạnh – cạnh hoặc cạnh – góc – cạnh).

• Xét hai tam giác là tam giác ACD và tam giác BDC, ta thấy:
• Cạnh CD là cạnh chung của cả hai tam giác này.
• Theo giả thiết của bài toán, cạnh AC bằng cạnh BD.
• Bây giờ chúng ta cần tìm thêm một yếu tố nữa. Vì tam giác BDE cân tại đỉnh B (đã được chứng minh ở câu a), nên góc đáy BDE bằng với góc đáy BED.
• Mặt khác, góc BED và góc ACD là hai góc ở vị trí đồng vị do đường thẳng BE song song với đường thẳng AC tạo ra. Suy ra góc ACD bằng góc BED.
• Từ đó ta có góc ACD bằng với góc BDE (vì cùng bằng góc BED). Lưu ý rằng góc BDE cũng chính là góc BDC vì điểm E nằm trên đường thẳng CD. Suy ra góc ACD bằng góc BDC.
• Xét tam giác ACD và tam giác BDC có: Cạnh AC bằng cạnh BD, cạnh CD chung, và góc ACD bằng góc BDC.
• Vậy tam giác ACD bằng tam giác BDC (theo trường hợp cạnh – góc – cạnh). (Điều phải chứng minh).

c, Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân

Dấu hiệu nhận biết hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc có hai đường chéo bằng nhau.

• Đầu tiên, tứ giác ABCD đã có cạnh AB song song với cạnh CD theo giả thiết ban đầu, nên tứ giác ABCD chắc chắn là một hình thang.
• Mặt khác, từ kết quả chứng minh tam giác ACD bằng tam giác BDC ở câu b, ta suy ra góc ADC bằng với góc BCD (hai góc tương ứng).
• Hình thang ABCD có hai góc kề một đáy là góc ADC và góc BCD bằng nhau, nên hình thang đó chính là hình thang cân.
• Hoặc chúng ta cũng có thể nhìn nhận nhanh từ giả thiết đề bài đã cho sẵn hai đường chéo là AC bằng BD, kết hợp với điều kiện AB song song với CD thì tứ giác ABCD lập tức trở thành hình thang cân. (Điều phải chứng minh).

Lời kết cho học sinh: Bài toán này đòi hỏi các em phải vận dụng linh hoạt tính chất của hình bình hành, tam giác cân và các góc tạo bởi các đường thẳng song song. Các em hãy đọc kỹ từng bước, vẽ hình thật cẩn thận vào vở để nắm vững bản chất nhé. Chúc các em học tập thật tốt!