Cho tứ giác lồi ABCD. P, Q là trung điểm AB, CD. O là trung điểm của…

Chào em, một câu hỏi hình học lớp 10 rất thú vị và cổ điển. Để giải quyết bài toán chứng minh đẳng thức vectơ này, thầy trò ta sẽ áp dụng tính chất trung điểm và quy tắc cộng vectơ quen thuộc nhé.

Bước 1: Khai thác giả thiết về các trung điểm

Trước hết, em hãy tận dụng giả thiết P là trung điểm của AB và Q là trung điểm của CD. Theo quy tắc trung điểm trong chương trình Hình học lớp 10, với điểm M bất kỳ trong mặt phẳng, ta có:

• Vectơ MA cộng với vectơ MB sẽ bằng hai lần vectơ MP (với P là trung điểm của AB).
• Vectơ MC cộng với vectơ MD sẽ bằng hai lần vectơ MQ (với Q là trung điểm của CD).

Bước 2: Biến đổi vế trái của đẳng thức

Bây giờ, em hãy nhóm tổng bốn vectơ ở vế trái lại thành hai cặp như sau:

• Mở ngoặc: Vectơ MA cộng vectơ MB đóng ngoặc, cộng với mở ngoặc: Vectơ MC cộng vectơ MD đóng ngoặc.
• Dựa vào kết quả ở bước 1, em thay thế các cặp vectơ trên. Vế trái lúc này trở thành: Hai lần vectơ MP cộng với hai lần vectơ MQ.
• Đặt thừa số chung là số 2 ra ngoài, ta được: 2 nhân với tổng của (vectơ MP cộng vectơ MQ).

Bước 3: Sử dụng tính chất trung điểm lần nữa để kết luận

Đến đây, bài toán đã gần hoàn thành. Theo giả thiết tiếp theo, điểm O chính là trung điểm của đoạn thẳng PQ.

• Xét tam giác hoặc đoạn thẳng PQ với điểm M bất kỳ, tổng của vectơ MP cộng với vectơ MQ sẽ bằng hai lần vectơ MO (vì O là trung điểm của PQ).
• Thay kết quả này vào biểu thức ở bước 2, ta có: 2 nhân với (2 lần vectơ MO).
• Nhân các hệ số lại với nhau: 2 nhân 2 bằng 4, kết quả cuối cùng là 4 lần vectơ MO.

Kết luận:

Như vậy, sau các bước biến đổi logic, vế trái đã bằng vế phải (bằng 4 lần vectơ MO). Điều phải chứng minh đã hoàn thành. Em hãy ghi nhớ phương pháp “chèn điểm” hoặc “dùng tính chất trung điểm” này nhé, vì nó rất hữu ích cho các bài toán vectơ lớp 10 đấy. Chúc em học tốt!