Đề bài: Cho vật chuyển động với phương trình \(d = 30 + 4t – t \cdot t\). Tính quãng đường đi được (s) trong 5 giây đầu.

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích phương trình chuyển động của vật và xác định yêu cầu của bài toán nhé.

1. Phân tích phương trình chuyển động:

Phương trình chuyển động của vật được cho là: \(d = 30 + 4t – t \cdot t\).

Chúng ta có thể viết lại phương trình này dưới dạng chuẩn của chuyển động thẳng biến đổi đều:

\(d(t) = d_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\)

So sánh hai phương trình, ta có:

• Vị trí ban đầu (tại \(t=0\)): \(d_0 = 30\) (giả sử đơn vị là mét).
• Vận tốc ban đầu: \(v_0 = 4\) (giả sử đơn vị là m/s).
• Hệ số của \(t^2\) là \(-1\). Vậy, \(\frac{1}{2}a = -1 \Rightarrow a = -2\) (giả sử đơn vị là m/s\(^2\)).

Vậy, đây là chuyển động thẳng biến đổi đều với vận tốc ban đầu dương (\(v_0 = 4\) m/s) và gia tốc âm (\(a = -2\) m/s\(^2\)). Điều này có nghĩa là vật sẽ chuyển động chậm dần, dừng lại và sau đó đổi chiều chuyển động.

2. Yêu cầu của bài toán:

Tính quãng đường đi được (s) trong 5 giây đầu.

Lưu ý: Quãng đường (s) khác với độ dịch chuyển (\(\Delta d\)). Quãng đường là tổng chiều dài quỹ đạo mà vật đi được, luôn là một giá trị không âm. Độ dịch chuyển là sự thay đổi vị trí cuối cùng so với vị trí ban đầu, có thể dương, âm hoặc bằng 0. Do vật có thể đổi chiều chuyển động (vì \(v_0\) và \(a\) trái dấu), nên ta cần cẩn thận khi tính quãng đường.

3. Các bước giải bài toán:

Bước 3.1: Xác định thời điểm vật đổi chiều chuyển động (nếu có).

Vật đổi chiều chuyển động khi vận tốc của nó bằng 0.
Phương trình vận tốc của vật là: \(v(t) = v_0 + at\)
Thay các giá trị \(v_0\) và \(a\) vào, ta có:
\(v(t) = 4 + (-2)t = 4 – 2t\)

Để tìm thời điểm vật đổi chiều, ta cho \(v(t) = 0\):
\(4 – 2t = 0\)
\(2t = 4\)
\(t = 2\) giây

Vì thời điểm \(t = 2\) giây nằm trong khoảng thời gian 5 giây đầu (từ 0 đến 5 giây), nên vật đã đổi chiều chuyển động trong khoảng thời gian này. Điều này có nghĩa là quãng đường đi được sẽ bằng tổng các quãng đường đi được trong từng giai đoạn trước và sau khi đổi chiều.

Bước 3.2: Xác định vị trí của vật tại các thời điểm quan trọng.

• Vị trí ban đầu (tại \(t = 0\) giây):
  \(d(0) = 30 + 4(0) – (0)^2 = 30\) m.
• Vị trí tại thời điểm vật đổi chiều (tại \(t = 2\) giây):
  \(d(2) = 30 + 4(2) – (2)^2 = 30 + 8 – 4 = 34\) m.
• Vị trí tại thời điểm cuối cùng của khoảng thời gian xét (tại \(t = 5\) giây):
  \(d(5) = 30 + 4(5) – (5)^2 = 30 + 20 – 25 = 25\) m.

Bước 3.3: Tính quãng đường đi được trong từng giai đoạn.

Ta chia chuyển động thành hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Từ \(t = 0\) giây đến \(t = 2\) giây (vật chuyển động theo chiều dương, chậm dần).
Quãng đường đi được trong giai đoạn này là độ lớn của độ dịch chuyển:
\(s_1 = |d(2) – d(0)| = |34 – 30| = |4| = 4\) m.

Giai đoạn 2: Từ \(t = 2\) giây đến \(t = 5\) giây (vật chuyển động theo chiều âm, nhanh dần).
Quãng đường đi được trong giai đoạn này là độ lớn của độ dịch chuyển:
\(s_2 = |d(5) – d(2)| = |25 – 34| = |-9| = 9\) m.

Bước 3.4: Tính tổng quãng đường đi được trong 5 giây đầu.

Tổng quãng đường đi được là tổng của quãng đường trong hai giai đoạn:
\(s = s_1 + s_2 = 4 + 9 = 13\) m.

Kết luận:

Vậy, quãng đường mà vật đi được trong 5 giây đầu là 13 mét.

Hy vọng bài giải này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán tính quãng đường khi vật có thể đổi chiều chuyển động. Chúc các em học tốt!