Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất quan trọng trong vật lý thực nghiệm, đó là tính toán và xác định sai số của một đại lượng khi nó được tính toán từ các đại lượng khác có sai số. Bài toán này giúp chúng ta hiểu rõ hơn về độ chính xác của các phép đo.

Đề bài: Cho các giá trị và sai số của các đại lượng x, y, z như sau:

\(x = 20,1 \pm 0,02\)
\(y = 14,3 \pm 0,01\)
\(z = 10,4 \pm 0,01\)

Yêu cầu: Tính \(D = \dfrac{x.y^2}{\sqrt{z}}\)

Lời giải chi tiết:

Để tính \(D\) và sai số của nó, chúng ta sẽ thực hiện theo hai bước chính:

1. Tính giá trị trung bình (giá trị tốt nhất) của \(D\).
2. Tính sai số tương đối và sau đó là sai số tuyệt đối của \(D\).

1. Tính giá trị trung bình của \(D\) (ký hiệu là \(D_0\)):

Chúng ta thay các giá trị trung bình của x, y, z vào công thức:

\(D_0 = \dfrac{x_0 \cdot y_0^2}{\sqrt{z_0}}\)

Với \(x_0 = 20,1\), \(y_0 = 14,3\), \(z_0 = 10,4\).

\(D_0 = \dfrac{20,1 \cdot (14,3)^2}{\sqrt{10,4}}\)

Trước hết, chúng ta tính các thành phần:
\(y_0^2 = (14,3)^2 = 204,49\)
\(\sqrt{z_0} = \sqrt{10,4} \approx 3,224903\)

Thay vào công thức \(D_0\):
\(D_0 = \dfrac{20,1 \cdot 204,49}{3,224903} = \dfrac{4110,249}{3,224903} \approx 1274,568\)

Vậy, giá trị trung bình của \(D\) là \(D_0 \approx 1274,568\).

2. Tính sai số của \(D\):

Đối với các phép toán nhân, chia và lũy thừa, chúng ta sử dụng công thức cộng sai số tương đối. Công thức tổng quát cho sai số tương đối của một đại lượng \(A\) được tính từ các đại lượng \(x, y, z\) có dạng \(A = x^a \cdot y^b \cdot z^c\) là:

\(\dfrac{\Delta A}{|A_0|} = |a|\dfrac{\Delta x}{|x_0|} + |b|\dfrac{\Delta y}{|y_0|} + |c|\dfrac{\Delta z}{|z_0|}\)

Trong trường hợp của chúng ta, \(D = \dfrac{x \cdot y^2}{\sqrt{z}} = x^1 \cdot y^2 \cdot z^{-1/2}\).

Vậy, sai số tương đối của \(D\) sẽ là:

\(\dfrac{\Delta D}{|D_0|} = \dfrac{\Delta x}{|x_0|} + 2 \dfrac{\Delta y}{|y_0|} + \left|-\dfrac{1}{2}\right|\dfrac{\Delta z}{|z_0|}\)

\(\dfrac{\Delta D}{|D_0|} = \dfrac{\Delta x}{|x_0|} + 2 \dfrac{\Delta y}{|y_0|} + \dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta z}{|z_0|}\)

Bây giờ, chúng ta tính từng thành phần sai số tương đối:

Sai số tương đối của x: \(\dfrac{\Delta x}{|x_0|} = \dfrac{0,02}{20,1} \approx 0,0009950\)

Sai số tương đối của \(y^2\): \(2 \dfrac{\Delta y}{|y_0|} = 2 \cdot \dfrac{0,01}{14,3} = 2 \cdot 0,0006993 \approx 0,0013986\)

Sai số tương đối của \(\sqrt{z}\): \(\dfrac{1}{2}\dfrac{\Delta z}{|z_0|} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{0,01}{10,4} = \dfrac{1}{2} \cdot 0,0009615 \approx 0,0004807\)

Cộng các sai số tương đối này lại để có sai số tương đối của \(D\):

\(\dfrac{\Delta D}{|D_0|} = 0,0009950 + 0,0013986 + 0,0004807 = 0,0028743\)

Tiếp theo, chúng ta tính sai số tuyệt đối của \(D\) (\(\Delta D\)):

\(\Delta D = |D_0| \cdot \dfrac{\Delta D}{|D_0|} = 1274,568 \cdot 0,0028743 \approx 3,661\)

3. Làm tròn kết quả cuối cùng:

Theo quy tắc làm tròn sai số, sai số tuyệt đối thường được làm tròn về một chữ số có nghĩa (hoặc hai nếu chữ số đầu tiên là 1). Ở đây, \(\Delta D \approx 3,661\), chúng ta sẽ làm tròn thành \(\Delta D = 4\).

Giá trị trung bình của \(D\) cũng phải được làm tròn đến cùng hàng thập phân với sai số tuyệt đối. Vì \(\Delta D\) được làm tròn đến hàng đơn vị, \(D_0 = 1274,568\) sẽ được làm tròn thành \(D_0 = 1275\).

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\(D = 1275 \pm 4\)

Mong rằng các em đã nắm rõ cách tính toán và xử lý sai số trong bài toán này. Đây là một kỹ năng rất quan trọng trong các bài thực hành vật lý. Chúc các em học tốt!