Cho x = a/m , y =b/m, biết a,b,m ∈ Z, m > 0 và x < y. Hãy chứng tỏ...

Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải quyết một bài toán rất hay và thú vị trong chương trình Số học, đó là bài toán về số hữu tỉ.

Để giải quyết yêu cầu bài toán, chúng ta sẽ đi qua từng bước lập luận rất logic và chặt chẽ dựa trên các tính chất đã học ở học kì 1. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bước 1: Khai thác giả thiết của đề bài

• Theo đề bài, ta đã có hai số hữu tỉ là x = a/m và y = b/m với mẫu số chung là m dương.
• Đề bài cho biết x nhỏ hơn y, tức là: a/m < b/m.
• Vì hai phân số này có cùng mẫu số dương m, nên phân số nào có tử số nhỏ hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Từ đó, ta suy ra tử số: a < b.

Bước 2: Chứng minh vế thứ nhất (x nhỏ hơn số ở giữa)

• Ta cần so sánh x (tức là a/m) với biểu thức (a + b) / (2m).
• Vì a nhỏ hơn b, nên nếu ta cộng thêm a vào cả hai vế của bất đẳng thức, ta được: a + a < a + b.
• Hay nói cách khác là: 2 lần a nhỏ hơn a + b (2a < a + b).
• Bây giờ, ta chia cả hai vế cho 2m (vì m dương nên 2m cũng là một số dương, chiều của bất đẳng thức không đổi), ta được: 2a / (2m) < (a + b) / (2m).
• Rút gọn phân số ở vế trái cho 2, ta thu được kết quả chính là x: a/m < (a + b) / (2m).
• Như vậy, ta đã chứng minh xong: x < (a + b) / (2m) (Điều này được gọi là số 1).

Bước 3: Chứng minh vế thứ hai (số ở giữa nhỏ hơn y)

• Tương tự như trên, ta so sánh biểu thức (a + b) / (2m) với y (tức là b/m).
• Vì ta vẫn có a nhỏ hơn b, nên nếu ta cộng thêm b vào cả hai vế, ta được: a + b < b + b.
• Hay viết gọn lại là: a + b < 2 lần b (a + b < 2b).
• Chia cả hai vế cho số dương 2m, ta được: (a + b) / (2m) < 2b / (2m).
• Rút gọn phân số ở vế phải cho 2, ta thu được kết quả chính là y: (a + b) / (2m) < b/m.
• Như vậy, ta đã chứng minh xong: (a + b) / (2m) < y (Điều này được gọi là số 2).

Bước 4: Kết luận chung

• Từ điều 1 và điều 2 ở trên, kết hợp tính chất bắc cầu quen thuộc, ta thấy rằng số (a + b) / (2m) lớn hơn x và lại nhỏ hơn y.
• Do đó, ta viết gộp lại được kết quả hoàn chỉnh: x < (a + b) / (2m) < y.
• Bài toán của chúng ta được chứng minh hoàn toàn!

Lời dặn dò từ giáo viên: Qua bài toán này, các em thấy rằng giữa hai số hữu tỉ x và y bất kỳ luôn tìm được ít nhất một số hữu tỉ nằm ở giữa chúng (cụ thể là trung bình cộng của hai tử số chia cho hai mẫu số). Tính chất này cho chúng ta thấy tập hợp số hữu tỉ dày đặc trên trục số. Các em hãy ghi chép cẩn thận vào vở và ôn lại các bước biến đổi bất đẳng thức nhé!