Chào các em học sinh yêu quý! Thật vui được cùng các em khám phá những bài toán thú vị, đặc biệt là những đề thi mới như IJSO 2026. Bài toán này thoạt nhìn có vẻ phức tạp với các số mũ 3, nhưng chúng ta sẽ cùng nhau tìm ra lời giải một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé!

Đề bài: Cho \(x, y \in N^*\) thỏa mãn: \(x^3 + 2x = y^3 + 6y + 13\)

Chứng minh rằng: \(x>y\)

—

Lời giải chi tiết:

Chúng ta có phương trình đã cho là:

\(x^3 + 2x = y^3 + 6y + 13 \quad (*)\)

Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng \(x > y\). Để làm điều này, một phương pháp rất hiệu quả là phương pháp chứng minh phản chứng. Chúng ta sẽ giả sử điều ngược lại là đúng, tức là \(x \le y\), rồi sau đó chứng minh rằng giả định này dẫn đến một điều vô lý, một mâu thuẫn với điều kiện của đề bài hoặc các quy tắc toán học đã biết.

Chúng ta sẽ xét hai trường hợp có thể xảy ra khi giả sử \(x \le y\):

Trường hợp 1: \(x = y\)

Nếu \(x = y\), chúng ta thay \(x\) bằng \(y\) (hoặc ngược lại) vào phương trình \((*)\). Cô sẽ thay \(x\) bằng \(y\) vào vế trái:

\(y^3 + 2y = y^3 + 6y + 13\)

Bây giờ, chúng ta rút gọn phương trình này:

\(2y = 6y + 13\)

\(2y – 6y = 13\)

\(-4y = 13\)

\(y = -\frac{13}{4}\)

Tuy nhiên, đề bài cho biết \(y \in N^*\), tức là \(y\) phải là một số nguyên dương (\(y \in \{1, 2, 3, …\}\)). Giá trị \(y = -\frac{13}{4}\) không phải là số nguyên dương.

Đây là một mâu thuẫn với điều kiện của đề bài. Do đó, trường hợp \(x = y\) là không thể xảy ra.

Trường hợp 2: \(x < y\)

Nếu \(x < y\), chúng ta hãy cùng xem xét sự thay đổi của hàm số \(f(t) = t^3 + 2t\).

Vì \(t \in N^*\), tức là \(t\) là một số nguyên dương. Chúng ta có thể thấy rằng hàm số \(f(t)\) là một hàm đồng biến trên tập các số nguyên dương. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta lấy hai số nguyên dương \(t_1\) và \(t_2\) mà \(t_1 < t_2\), thì chắc chắn \(f(t_1) < f(t_2)\).

Thật vậy, nếu \(t_1 < t_2\):

• Vì \(t_1, t_2\) là số dương, khi lũy thừa 3, bất đẳng thức vẫn giữ nguyên chiều: \(t_1^3 < t_2^3\).
• Tương tự, \(2t_1 < 2t_2\).

Cộng hai bất đẳng thức này lại, chúng ta được:

\(t_1^3 + 2t_1 < t_2^3 + 2t_2\)

Hay nói cách khác, \(f(t_1) < f(t_2)\).

Áp dụng điều này cho trường hợp \(x < y\):

Vì \(x < y\) và \(x, y \in N^*\), chúng ta suy ra:

\(x^3 + 2x < y^3 + 2y\)

Bây giờ, hãy quay lại phương trình ban đầu \((*)\):

\(x^3 + 2x = y^3 + 6y + 13\)

Vì chúng ta vừa suy ra \(x^3 + 2x < y^3 + 2y\), chúng ta có thể thay thế vế trái của phương trình \((*)\) bằng bất đẳng thức này:

\(y^3 + 6y + 13 < y^3 + 2y\)

Bây giờ, chúng ta rút gọn bất đẳng thức này:

\(6y + 13 < 2y\)

\(13 < 2y - 6y\)

\(13 < -4y\)

Để tìm giá trị của \(y\), chúng ta chia cả hai vế cho \(-4\). Khi chia (hoặc nhân) cả hai vế của một bất đẳng thức cho một số âm, chúng ta phải đổi chiều bất đẳng thức:

\(y < -\frac{13}{4}\)

Giống như trường hợp 1, kết quả này là \(y < -\frac{13}{4}\). Nhưng đề bài cho biết \(y \in N^*\), tức là \(y\) phải là một số nguyên dương (\(y \in \{1, 2, 3, ...\}\)). Giá trị \(y < -\frac{13}{4}\) hoàn toàn không thỏa mãn điều kiện này (vì tất cả các số nguyên dương đều lớn hơn \(-\frac{13}{4}\)).

Đây tiếp tục là một mâu thuẫn với điều kiện của đề bài. Do đó, trường hợp \(x < y\) cũng là không thể xảy ra.

—

Kết luận:

Qua việc xét cả hai trường hợp \(x = y\) và \(x < y\), chúng ta đều thấy rằng giả định \(x \le y\) đã dẫn đến mâu thuẫn với điều kiện \(x, y \in N^*\).

Vì vậy, giả định ban đầu của chúng ta là sai. Điều đó có nghĩa là điều ngược lại của giả định là đúng.

Giả định sai là \(x \le y\).

Điều ngược lại của \(x \le y\) là \(x > y\).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(x > y\).

—

Hy vọng phần giải thích này giúp các em hiểu rõ bài toán. Đây là một ví dụ điển hình về việc sử dụng phương pháp phản chứng để giải quyết các bài toán bất đẳng thức hoặc so sánh giá trị. Hãy luyện tập nhiều hơn để thành thạo phương pháp này nhé!