Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán chứng minh rất thú vị, sử dụng các kiến thức đại số đã học. Đây là một dạng bài thường gặp, giúp chúng ta củng cố các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Đề bài:

Cho \( x+ y + z = 0 \) và \( xy + xz + yz = 0 \).

Chứng minh rằng: \( x = y = z \).

Lời giải chi tiết:

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em đã được học trong chương trình Toán lớp 8. Đó là hằng đẳng thức bình phương của một tổng ba số:

\( (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+ac+bc) \)

Áp dụng hằng đẳng thức này cho ba biến \(x, y, z\), ta có:

\( (x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+xz+yz) \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các giả thiết đã cho vào hằng đẳng thức này.

Theo đề bài, chúng ta có hai điều kiện quan trọng:

1. \( x+y+z = 0 \)
2. \( xy+xz+yz = 0 \)

Thay (1) và (2) vào hằng đẳng thức đã viết ở trên, ta được:

\( (0)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(0) \)

Thực hiện các phép tính đơn giản, chúng ta có:

\( 0 = x^2 + y^2 + z^2 + 0 \)

Điều này dẫn đến một kết quả rất quan trọng:

\( x^2 + y^2 + z^2 = 0 \)

Đây là mấu chốt để hoàn thành chứng minh. Chúng ta biết rằng, với mọi số thực \(x, y, z\):

• \( x^2 \ge 0 \) (bình phương của một số thực luôn không âm)
• \( y^2 \ge 0 \)
• \( z^2 \ge 0 \)

Khi tổng của ba số không âm bằng 0, thì điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi tất cả các số hạng đó đều bằng 0.

Do đó, từ \( x^2 + y^2 + z^2 = 0 \), ta suy ra:

• \( x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \)
• \( y^2 = 0 \Rightarrow y = 0 \)
• \( z^2 = 0 \Rightarrow z = 0 \)

Vậy, chúng ta có \( x = 0 \), \( y = 0 \), và \( z = 0 \).

Khi \( x=0, y=0, z=0 \), thì rõ ràng điều kiện \( x = y = z \) là đúng.

Kết luận:

Với các điều kiện đã cho là \( x+ y + z = 0 \) và \( xy + xz + yz = 0 \), chúng ta đã chứng minh được rằng \( x = y = z \).

Thầy/cô mong rằng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách áp dụng hằng đẳng thức và các tính chất cơ bản của số thực để giải quyết bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!