Chào các em học sinh lớp 9 thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh đẳng thức khá thú vị liên quan đến các số thực dương. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một đẳng thức khi biết tổng của ba số \(x, y, z\) là 3. Đây là một dạng bài điển hình trong các đề thi học sinh giỏi hoặc thi vào chuyên, đòi hỏi sự khéo léo trong biến đổi đại số.

Đề bài: Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = 3\). Chứng minh:

\((1)/(3x + yz) + (1)/(3y + xz) + (1)/(3z + xy) = (6)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

Phân tích bài toán:

Nhìn vào đẳng thức cần chứng minh, chúng ta thấy vế trái (VT) là tổng của ba phân thức, còn vế phải (VP) là một phân thức duy nhất. Điểm đặc biệt là vế trái có các mẫu số chứa ‘3’ (ví dụ: \(3x\)). Điều này gợi ý rằng chúng ta nên sử dụng giả thiết \(x + y + z = 3\) để thay thế số ‘3’ trong các mẫu số của vế trái. Đây thường là một kỹ thuật quan trọng khi giải các bài toán có điều kiện tổng các biến bằng một hằng số.

Lời giải chi tiết:

Ta sẽ biến đổi vế trái của đẳng thức.

Bước 1: Biến đổi mẫu số của từng phân thức ở vế trái.

Xét mẫu số của phân thức thứ nhất: \(3x + yz\).

Từ giả thiết, ta có \(x + y + z = 3\). Thay ‘3’ bằng \((x + y + z)\) vào biểu thức \(3x + yz\), ta được:

\(3x + yz = (x + y + z)x + yz\)

\(= x^2 + xy + xz + yz\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử để phân tích thành nhân tử:

\(= (x^2 + xy) + (xz + yz)\)

\(= x(x + y) + z(x + y)\)

\(= (x + y)(x + z)\)

Vậy, phân thức thứ nhất trở thành: \((1)/((x + y)(x + z))\)

Bước 2: Áp dụng tính đối xứng cho các phân thức còn lại.

Do biểu thức có tính đối xứng với \(x, y, z\), ta có thể suy ra cách biến đổi của hai phân thức còn lại tương tự:

Đối với phân thức thứ hai: \((1)/(3y + xz)\)

Thay \(3 = x + y + z\), ta có:

\(3y + xz = (x + y + z)y + xz\)

\(= xy + y^2 + yz + xz\)

\(= y(x + y) + z(y + x)\)

\(= (x + y)(y + z)\)

Vậy, phân thức thứ hai trở thành: \((1)/((x + y)(y + z))\)

Đối với phân thức thứ ba: \((1)/(3z + xy)\)

Thay \(3 = x + y + z\), ta có:

\(3z + xy = (x + y + z)z + xy\)

\(= xz + yz + z^2 + xy\)

\(= z(x + z) + y(x + z)\)

\(= (x + z)(y + z)\)

Vậy, phân thức thứ ba trở thành: \((1)/((x + z)(y + z))\)

Bước 3: Cộng các phân thức đã biến đổi ở vế trái.

Vế trái (VT) của đẳng thức ban đầu trở thành:

\(VT = (1)/((x + y)(x + z)) + (1)/((x + y)(y + z)) + (1)/((x + z)(y + z))\)

Để cộng ba phân thức này, ta tìm mẫu số chung nhỏ nhất (MSC) là \((x + y)(y + z)(z + x)\).

Quy đồng mẫu số cho từng phân thức:

• Phân thức thứ nhất: \((1)/((x + y)(x + z))\). Ta nhân cả tử và mẫu với \((y + z)\).
  \(= (y + z)/((x + y)(x + z)(y + z))\)
• Phân thức thứ hai: \((1)/((x + y)(y + z))\). Ta nhân cả tử và mẫu với \((z + x)\).
  \(= (z + x)/((x + y)(y + z)(z + x))\)
• Phân thức thứ ba: \((1)/((x + z)(y + z))\). Ta nhân cả tử và mẫu với \((x + y)\).
  \(= (x + y)/((x + y)(x + z)(y + z))\)

Bây giờ, cộng các tử số lại với nhau:

\(VT = ((y + z) + (z + x) + (x + y))/((x + y)(y + z)(z + x))\)

\(= (y + z + z + x + x + y)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

\(= (2x + 2y + 2z)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

\(= (2(x + y + z))/((x + y)(y + z)(z + x))\)

Bước 4: Thay thế giả thiết \(x + y + z = 3\) vào biểu thức cuối cùng.

Ta có \(x + y + z = 3\), vậy:

\(VT = (2 \cdot 3)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

\(= (6)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

Bước 5: So sánh với vế phải.

Vế phải (VP) của đẳng thức cần chứng minh là: \((6)/((x + y)(y + z)(z + x))\)

Ta thấy rằng \(VT = VP\).

Vậy, đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

Qua các bước biến đổi chi tiết, từ việc sử dụng khéo léo điều kiện \(x + y + z = 3\) để phân tích mẫu số, đến việc quy đồng và cộng các phân thức, chúng ta đã chứng minh được đẳng thức yêu cầu. Bài toán này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc nhận diện và sử dụng các giả thiết một cách hiệu quả trong việc đơn giản hóa biểu thức đại số.

Chúc các em học tốt!