Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng, với điều kiện cho trước là \( x^2 = y^2 + z^2 \), thì biểu thức \( ( 5x – 3y + 4z ) ( 5x – 3y – 4z ) \) sẽ bằng \( ( 3x – 5y )^2 \).

Chúng ta hãy bắt đầu nhé!

Bước 1: Phân tích vế trái của biểu thức cần chứng minh.

Ta có vế trái là: \( ( 5x – 3y + 4z ) ( 5x – 3y – 4z ) \).

Các em hãy để ý rằng, hai nhân tử này có dạng \( (a+b)(a-b) \), trong đó \( a = 5x – 3y \) và \( b = 4z \).

Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (a+b)(a-b) = a^2 – b^2 \).

Vậy, vế trái sẽ bằng:
\( (5x – 3y)^2 – (4z)^2 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển \( (5x – 3y)^2 \) bằng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \).
Ở đây, \( a = 5x \) và \( b = 3y \).

\( (5x – 3y)^2 = (5x)^2 – 2(5x)(3y) + (3y)^2 \)
\( = 25x^2 – 30xy + 9y^2 \)

Và \( (4z)^2 = 16z^2 \).

Thay trở lại biểu thức vế trái:
\( ( 5x – 3y + 4z ) ( 5x – 3y – 4z ) = (25x^2 – 30xy + 9y^2) – 16z^2 \)
\( = 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16z^2 \)

Bước 2: Sử dụng điều kiện cho trước để biến đổi vế trái.

Điều kiện bài toán cho là \( x^2 = y^2 + z^2 \).
Từ đây, chúng ta có thể suy ra một số mối liên hệ hữu ích. Ví dụ, ta có thể viết \( z^2 = x^2 – y^2 \).

Bây giờ, chúng ta hãy nhìn vào biểu thức vế trái mà chúng ta vừa tìm được: \( 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16z^2 \).

Hãy xem xét phần \( 9y^2 – 16z^2 \). Chúng ta có thể thử thay \( z^2 \) vào để xem có đẹp hơn không.
\( 9y^2 – 16(x^2 – y^2) \)
\( = 9y^2 – 16x^2 + 16y^2 \)
\( = 25y^2 – 16x^2 \)

Tuy nhiên, cách này có vẻ làm cho biểu thức phức tạp hơn. Chúng ta hãy thử một cách khác.

Chúng ta có \( x^2 = y^2 + z^2 \). Chúng ta có thể viết lại vế trái như sau:
\( 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16z^2 \)

Hãy để ý đến \( x^2 \) và \( z^2 \). Chúng ta có thể thay \( x^2 \) bằng \( y^2 + z^2 \) hoặc thay \( z^2 \) bằng \( x^2 – y^2 \).

Hãy thử thay \( z^2 \) trong biểu thức vế trái:
\( 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16z^2 \)
\( = 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16(x^2 – y^2) \) (Vì \( z^2 = x^2 – y^2 \))
\( = 25x^2 – 30xy + 9y^2 – 16x^2 + 16y^2 \)
\( = (25x^2 – 16x^2) – 30xy + (9y^2 + 16y^2) \)
\( = 9x^2 – 30xy + 25y^2 \)

Bước 3: Phân tích vế phải của biểu thức cần chứng minh.

Vế phải là: \( (3x – 5y)^2 \).

Đây là một hằng đẳng thức bình phương của một hiệu. Áp dụng công thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \), với \( a = 3x \) và \( b = 5y \).

\( (3x – 5y)^2 = (3x)^2 – 2(3x)(5y) + (5y)^2 \)
\( = 9x^2 – 30xy + 25y^2 \)

Bước 4: So sánh kết quả của vế trái và vế phải.

Chúng ta đã biến đổi vế trái và thu được kết quả là: \( 9x^2 – 30xy + 25y^2 \).
Và chúng ta đã khai triển vế phải và thu được kết quả là: \( 9x^2 – 30xy + 25y^2 \).

Hai kết quả này hoàn toàn giống nhau!

Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\( ( 5x – 3y + 4z ) ( 5x – 3y – 4z ) = ( 3x – 5y )^2 \)

Tóm lại các bước thực hiện:

1. Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương cho vế trái.
2. Khai triển biểu thức thu được ở Bước 1.
3. Sử dụng điều kiện \( x^2 = y^2 + z^2 \) để biến đổi vế trái, đưa về dạng đơn giản hơn.
4. Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu cho vế phải.
5. So sánh kết quả của vế trái và vế phải để đưa ra kết luận.

Đây là một bài toán đòi hỏi sự khéo léo trong việc áp dụng các hằng đẳng thức và sử dụng điều kiện cho trước một cách hợp lý. Các em hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để nâng cao kỹ năng của mình nhé!

Các em có câu hỏi nào không?