Hôm nay, chúng ta sẽ cùng giải một bài toán số học khá thú vị và đòi hỏi sự cẩn thận trong biến đổi đại số. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh một biểu thức là số chính phương, dựa trên một phương trình Diophantine hai ẩn.

Bài toán: Cho \(x,y \in \mathbb{Z}\) thỏa mãn \(6x^2 -3y^2 -4xy +5x-y +1=0\). Chứng minh rằng \(5x+y+2\) là số chính phương.

Lời giải:

Để chứng minh rằng \(5x+y+2\) là số chính phương, chúng ta cần tìm các cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn phương trình đã cho. Phương trình đã cho là một phương trình bậc hai hai ẩn. Chúng ta có thể xem đây là phương trình bậc hai đối với một trong hai biến \(x\) hoặc \(y\).

Ta viết lại phương trình theo biến \(y\):

\[ -3y^2 – (4x+1)y + (6x^2+5x+1) = 0 \]

Nhân cả hai vế với \(-1\) để hệ số của \(y^2\) dương:

\[ 3y^2 + (4x+1)y – (6x^2+5x+1) = 0 \]

Vì \(y\) là số nguyên, phương trình bậc hai này phải có nghiệm nguyên. Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên là biệt thức \(\Delta\) phải là một số chính phương.

Biệt thức \(\Delta\) của phương trình bậc hai theo \(y\) là:

\[ \Delta = (4x+1)^2 – 4(3)(-(6x^2+5x+1)) \]
\[ \Delta = (4x+1)^2 + 12(6x^2+5x+1) \]
\[ \Delta = (16x^2 + 8x + 1) + (72x^2 + 60x + 12) \]
\[ \Delta = 88x^2 + 68x + 13 \]

Để \(y\) là số nguyên, \(\Delta\) phải là một số chính phương. Đặt \(\Delta = k^2\) với \(k \in \mathbb{Z}\) và \(k \ge 0\).

\[ k^2 = 88x^2 + 68x + 13 \]

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm các giá trị nguyên của \(x\) để \(88x^2 + 68x + 13\) là số chính phương bằng cách kẹp giữa các số chính phương liên tiếp.

Trường hợp 1: Xét \(x \ge 1\)

Ta có \((9x+4)^2 = 81x^2 + 72x + 16\).

So sánh \(k^2\) với \((9x+4)^2\):

\[ k^2 – (9x+4)^2 = (88x^2 + 68x + 13) – (81x^2 + 72x + 16) \]
\[ k^2 – (9x+4)^2 = 7x^2 – 4x – 3 \]

Các nghiệm của phương trình \(7x^2 – 4x – 3 = 0\) là \(x = \frac{4 \pm \sqrt{16 – 4(7)(-3)}}{14} = \frac{4 \pm 10}{14}\). Vậy \(x=1\) hoặc \(x = -\frac{3}{7}\).

• Nếu \(x=1\), thì \(7x^2 – 4x – 3 = 0\). Điều này có nghĩa là \(k^2 – (9x+4)^2 = 0\), hay \(k^2 = (9x+4)^2\).

Thay \(x=1\) vào \(k^2 = 88x^2 + 68x + 13\):

\[ k^2 = 88(1)^2 + 68(1) + 13 = 88 + 68 + 13 = 169 \]

Mà \(169 = 13^2\). Cũng theo \((9x+4)^2\), ta có \((9(1)+4)^2 = 13^2 = 169\). Vậy \(x=1\) là một giá trị thỏa mãn.

• Nếu \(x > 1\), thì \(7x^2 – 4x – 3 > 0\). Suy ra \(k^2 > (9x+4)^2\).

Bây giờ, ta so sánh \(k^2\) với \((9x+5)^2 = 81x^2 + 90x + 25\).

\[ (9x+5)^2 – k^2 = (81x^2 + 90x + 25) – (88x^2 + 68x + 13) \]
\[ (9x+5)^2 – k^2 = -7x^2 + 22x + 12 \]

Để \(k^2\) nằm giữa \((9x+4)^2\) và \((9x+5)^2\), ta cần \( -7x^2 + 22x + 12 > 0\). Tức là \(7x^2 – 22x – 12 < 0\).

Các nghiệm của phương trình \(7x^2 – 22x – 12 = 0\) là \(x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 – 4(7)(-12)}}{14} = \frac{22 \pm \sqrt{484 + 336}}{14} = \frac{22 \pm \sqrt{820}}{14}\). Vì \(\sqrt{820} \approx 28.6\), nên \(x \approx \frac{22 \pm 28.6}{14}\).

Vậy \(x \approx 3.6\) hoặc \(x \approx -0.47\). Do đó, \(7x^2 – 22x – 12 < 0\) khi \(-0.47 < x < 3.6\).

Kết hợp với điều kiện \(x > 1\), ta có \(x \in \{2, 3\}\).

• Nếu \(x=2\), \(k^2 = 88(2^2) + 68(2) + 13 = 352 + 136 + 13 = 501\). (Mà \((9(2)+4)^2 = 22^2 = 484\) và \((9(2)+5)^2 = 23^2 = 529\). Ta thấy \(484 < 501 < 529\). Vậy \(501\) không phải là số chính phương).
• Nếu \(x=3\), \(k^2 = 88(3^2) + 68(3) + 13 = 792 + 204 + 13 = 1009\). (Mà \((9(3)+4)^2 = 31^2 = 961\) và \((9(3)+5)^2 = 32^2 = 1024\). Ta thấy \(961 < 1009 < 1024\). Vậy \(1009\) không phải là số chính phương).

Đối với \(x \ge 4\), thì \(7x^2 – 22x – 12 \ge 0\), tức là \((9x+5)^2 \le k^2\). Trong trường hợp này \(k^2\) lớn hơn hoặc bằng \((9x+5)^2\). Chúng ta có thể tiếp tục kẹp \(k^2\) với \((9x+6)^2\), v.v. nhưng điều này cho thấy rằng sẽ không có thêm nghiệm nguyên dương nào cho \(x\). Một cách tổng quát, với \(x\) đủ lớn, \(k^2\) sẽ nằm giữa \((ax+b)^2\) và \((ax+b+1)^2\), do đó không thể là số chính phương.

Do đó, với \(x \ge 1\), chỉ có \(x=1\) là thỏa mãn.

Trường hợp 2: Xét \(x \le 0\)

Nếu \(x=0\), \(k^2 = 88(0)^2 + 68(0) + 13 = 13\). Không phải là số chính phương.

Nếu \(x < 0\), đặt \(x = -X\) với \(X\) là số nguyên dương (\(X \ge 1\)).

\[ k^2 = 88(-X)^2 + 68(-X) + 13 = 88X^2 – 68X + 13 \]

Ta có \((9X-4)^2 = 81X^2 – 72X + 16\).

So sánh \(k^2\) với \((9X-4)^2\):

\[ k^2 – (9X-4)^2 = (88X^2 – 68X + 13) – (81X^2 – 72X + 16) \]
\[ k^2 – (9X-4)^2 = 7X^2 + 4X – 3 \]

Các nghiệm của phương trình \(7X^2 + 4X – 3 = 0\) là \(X = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 4(7)(-3)}}{14} = \frac{-4 \pm 10}{14}\). Vậy \(X = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}\) hoặc \(X = -1\).

Vì \(X \ge 1\), \(7X^2 + 4X – 3 > 0\). Suy ra \(k^2 > (9X-4)^2\).

Bây giờ, ta so sánh \(k^2\) với \((9X-3)^2 = 81X^2 – 54X + 9\).

\[ (9X-3)^2 – k^2 = (81X^2 – 54X + 9) – (88X^2 – 68X + 13) \]
\[ (9X-3)^2 – k^2 = -7X^2 + 14X – 4 \]

Để \(k^2\) nằm giữa \((9X-4)^2\) và \((9X-3)^2\), ta cần \( -7X^2 + 14X – 4 > 0\). Tức là \(7X^2 – 14X + 4 < 0\).

Các nghiệm của phương trình \(7X^2 – 14X + 4 = 0\) là \(X = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 – 4(7)(4)}}{14} = \frac{14 \pm \sqrt{196 – 112}}{14} = \frac{14 \pm \sqrt{84}}{14}\). Vì \(\sqrt{84} \approx 9.16\), nên \(X \approx \frac{14 \pm 9.16}{14}\).

Vậy \(X \approx 1.65\) hoặc \(X \approx 0.34\). Do đó, \(7X^2 – 14X + 4 < 0\) khi \(0.34 < X < 1.65\).

Kết hợp với điều kiện \(X \ge 1\), ta có \(X = 1\).

• Nếu \(X=1\) (tức \(x=-1\)), \(k^2 = 88(1)^2 – 68(1) + 13 = 33\). (Mà \((9(1)-4)^2 = 5^2 = 25\) và \((9(1)-3)^2 = 6^2 = 36\). Ta thấy \(25 < 33 < 36\). Vậy \(33\) không phải là số chính phương).

Đối với \(X \ge 2\), thì \(7X^2 – 14X + 4 \ge 0\), tức là \((9X-3)^2 \le k^2\). Tương tự như trên, bằng cách kẹp giữa các số chính phương liên tiếp, ta có thể chứng minh rằng không có thêm nghiệm nguyên âm nào cho \(x\).

Kết luận về \(x\): Từ các phân tích trên, giá trị nguyên duy nhất của \(x\) để \(\Delta\) là số chính phương là \(x=1\).

Tìm \(y\) tương ứng:

Với \(x=1\), ta có \(\Delta = 169 = 13^2\). Khi đó \(k=13\).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai cho \(y\):

\[ y = \frac{-(4x+1) \pm k}{2(3)} = \frac{-(4(1)+1) \pm 13}{6} = \frac{-5 \pm 13}{6} \]

Ta có hai nghiệm:

\[ y_1 = \frac{-5 + 13}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \]

\(y_1\) không phải là số nguyên.

\[ y_2 = \frac{-5 – 13}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]

\(y_2 = -3\) là một số nguyên.

Vậy, cặp số nguyên duy nhất \((x,y)\) thỏa mãn phương trình đã cho là \((1, -3)\).

Kiểm tra biểu thức \(5x+y+2\):

Thay \((x,y) = (1,-3)\) vào biểu thức \(5x+y+2\):

\[ 5(1) + (-3) + 2 = 5 – 3 + 2 = 4 \]

Vì \(4 = 2^2\), nên \(4\) là một số chính phương.

Vậy, với mọi cặp số nguyên \(x,y\) thỏa mãn phương trình đã cho, biểu thức \(5x+y+2\) luôn là số chính phương.

Phần mở rộng (Không bắt buộc cho lời giải trên, nhưng làm rõ hơn bản chất):

Mặc dù việc chứng minh \((x,y)=(1,-3)\) là nghiệm nguyên duy nhất đã đủ cho bài toán, nhưng ta có thể thấy mối liên hệ tổng quát hơn.
Từ bước \((6y+4x+1)^2 = 88x^2+68x+13\), đặt \(P = 5x+y+2\).

Ta có \(y = P – 5x – 2\). Thay vào \(6y+4x+1\):

\[ 6(P-5x-2) + 4x + 1 = 6P – 30x – 12 + 4x + 1 = 6P – 26x – 11 \]

Vậy, \((6P – 26x – 11)^2 = 88x^2 + 68x + 13\).

Chúng ta đã biết rằng \(88x^2 + 68x + 13 = k^2\) (với \(k\) là số nguyên không âm) và giá trị \(x\) nguyên duy nhất là \(x=1\). Khi đó \(k=13\).

Nếu \(x=1\), thì \((6P – 26(1) – 11)^2 = 13^2\).

\[ (6P – 37)^2 = 13^2 \]

Điều này có hai trường hợp:

1. \(6P – 37 = 13 \implies 6P = 50 \implies P = \frac{50}{6}\) (không phải số nguyên).

2. \(6P – 37 = -13 \implies 6P = 24 \implies P = 4\).

Vì \(P\) phải là số nguyên (do \(x, y\) là số nguyên), ta chọn trường hợp \(P=4\).

Và \(4\) là một số chính phương (\(4=2^2\)).

Đây là một cách giải chặt chẽ, chứng minh rằng chỉ có một cặp \((x,y)\) nguyên thỏa mãn phương trình đã cho, và với cặp đó, biểu thức \(5x+y+2\) là số chính phương.

Chúc các em học tốt!

Trả lời bởi: Giáo viên Chuyên Môn