Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán bất đẳng thức khá thú vị, liên quan đến căn bậc hai và các biến không âm. Các em hãy tập trung và theo dõi từng bước giải nhé!

Bài toán: Cho \(x,y,z \geqslant 0.\) Chứng minh rằng
\[ \sqrt{x^2 +xy+y^2} + \sqrt{y^2+yz+z^2} + \sqrt{ z^2+zx+x^2}\geqslant \sqrt{3} (x+y+z) \]

Lời giải:

Các em thân mến, khi nhìn vào bài toán này, chúng ta thấy có ba biểu thức căn giống nhau về cấu trúc. Điều này gợi ý chúng ta nên tìm cách đánh giá từng biểu thức căn đó một cách độc lập rồi cộng lại. Hoặc chúng ta cũng có thể nghĩ đến các bất đẳng thức quen thuộc có thể áp dụng.

Chúng ta hãy bắt đầu với một biểu thức căn bất kỳ, ví dụ: \( \sqrt{x^2 +xy+y^2} \). Làm thế nào để liên hệ biểu thức này với \(x\) hoặc \(y\) một cách đơn giản hơn?

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn.

Xét biểu thức \( x^2 +xy+y^2 \). Các em có nhận ra nó gần giống với hằng đẳng thức nào không? Chúng ta có thể thử “thêm bớt” để tạo ra hằng đẳng thức.

Chúng ta biết rằng \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \). Biểu thức của chúng ta chỉ có \(xy\). Vậy, chúng ta có thể viết lại như sau:

\( x^2 +xy+y^2 = x^2 + 2xy + y^2 – xy = (x+y)^2 – xy \).

Tuy nhiên, cách này có vẻ chưa “đẹp” lắm khi đưa vào căn. Chúng ta hãy thử một cách biến đổi khác.

Chúng ta có thể nhân biểu thức dưới căn với 4, sau đó chia 4 ra ngoài dấu căn. Việc nhân với 4 này thường giúp chúng ta tạo ra hằng đẳng thức liên quan đến bình phương.

Xét \( 4(x^2 +xy+y^2) = 4x^2 + 4xy + 4y^2 \).

Bây giờ, chúng ta cố gắng tạo ra bình phương của một tổng.

\( 4x^2 + 4xy + 4y^2 = (4x^2 + 4xy + y^2) + 3y^2 = (2x+y)^2 + 3y^2 \).

Hoặc chúng ta có thể viết là:

\( 4x^2 + 4xy + 4y^2 = (x^2 + 4xy + 4y^2) + 3x^2 = (x+2y)^2 + 3x^2 \).

Cả hai cách này đều cho ta một tổng của hai bình phương. Tuy nhiên, chúng ta muốn liên hệ với \(x+y\) hoặc các biến số khác một cách đối xứng.

Hãy thử cách khác:

\( x^2 +xy+y^2 \). Chúng ta có thể viết nó dưới dạng \( \frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4}(x-y)^2 \).

\( \frac{3}{4}(x^2+2xy+y^2) + \frac{1}{4}(x^2-2xy+y^2) = \frac{3}{4}x^2 + \frac{6}{4}xy + \frac{3}{4}y^2 + \frac{1}{4}x^2 – \frac{2}{4}xy + \frac{1}{4}y^2 \)

\( = (\frac{3}{4}+\frac{1}{4})x^2 + (\frac{6}{4}-\frac{2}{4})xy + (\frac{3}{4}+\frac{1}{4})y^2 = x^2 + xy + y^2 \).

Vậy là chúng ta đã biến đổi thành công:

\( x^2 +xy+y^2 = \frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4}(x-y)^2 \).

Do đó,

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} = \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4}(x-y)^2} \).

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc cho căn bậc hai: Bất đẳng thức Minkowski hoặc chúng ta có thể coi nó như một trường hợp của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức cho từng biểu thức căn.

Chúng ta có bất đẳng thức dạng \( \sqrt{a^2+b^2} \ge k \sqrt{a^2} \) (với \(k\) phù hợp) hoặc \( \sqrt{A+B} \ge \sqrt{A} \) nếu \(B \ge 0\).

Từ \( x^2 +xy+y^2 = \frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4}(x-y)^2 \), ta có:

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} = \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2 + \frac{1}{4}(x-y)^2} \).

Vì \( \frac{1}{4}(x-y)^2 \ge 0 \), ta có:

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} \ge \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2} \).

Vì \(x,y \ge 0\) nên \(x+y \ge 0\). Do đó, \( \sqrt{\frac{3}{4}(x+y)^2} = \frac{\sqrt{3}}{2} |x+y| = \frac{\sqrt{3}}{2} (x+y) \).

Vậy, ta có bất đẳng thức đầu tiên:

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (x+y) \). (1)

Tương tự, áp dụng cho hai biểu thức còn lại, ta có:

\( \sqrt{y^2+yz+z^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (y+z) \). (2)

\( \sqrt{ z^2+zx+x^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (z+x) \). (3)

Bước 3: Cộng các bất đẳng thức lại.

Bây giờ, chúng ta chỉ việc cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức (1), (2), và (3).

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} + \sqrt{y^2+yz+z^2} + \sqrt{ z^2+zx+x^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (x+y) + \frac{\sqrt{3}}{2} (y+z) + \frac{\sqrt{3}}{2} (z+x) \)

Ta rút \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) làm nhân tử chung:

\( \ge \frac{\sqrt{3}}{2} [ (x+y) + (y+z) + (z+x) ] \)

Gom các biến lại:

\( = \frac{\sqrt{3}}{2} [ x+y+y+z+z+x ] \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{2} [ 2x+2y+2z ] \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 (x+y+z) \)

\( = \sqrt{3} (x+y+z) \)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được điều phải chứng minh:

\( \sqrt{x^2 +xy+y^2} + \sqrt{y^2+yz+z^2} + \sqrt{ z^2+zx+x^2}\geqslant \sqrt{3} (x+y+z) \)

Dấu bằng xảy ra khi nào?

Dấu bằng trong các bất đẳng thức \( \sqrt{x^2 +xy+y^2} \ge \frac{\sqrt{3}}{2} (x+y) \) xảy ra khi \( \frac{1}{4}(x-y)^2 = 0 \), tức là \( x=y \).

Tương tự, dấu bằng cho các biểu thức còn lại xảy ra khi \( y=z \) và \( z=x \).

Vậy, dấu bằng của bất đẳng thức ban đầu xảy ra khi \( x=y=z \).

Các em thấy đó, việc biến đổi khéo léo biểu thức dưới dấu căn và áp dụng bất đẳng thức quen thuộc là chìa khóa để giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các dạng bài tương tự để nâng cao kỹ năng nhé!