Chào các em học sinh lớp 10! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán về xác suất rất thú vị liên quan đến các phép toán trên tập hợp số. Bài toán như sau:

Bài toán: Chọn ngẫu nhiên 3 số a,b,c trong tập hợp S = {1;2;…; 26}. Tính xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 5.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Tính tổng số các kết quả có thể xảy ra

Tập hợp S có 26 phần tử. Chúng ta chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp này mà không quan tâm đến thứ tự. Đây là bài toán tổ hợp chập 3 của 26 phần tử. Số các kết quả có thể xảy ra, ký hiệu là \(n(\Omega)\), được tính bằng công thức tổ hợp:

\(n(\Omega) = C_{26}^3 = \frac{26!}{3!(26-3)!} = \frac{26!}{3!23!} = \frac{26 \times 25 \times 24}{3 \times 2 \times 1} = 26 \times 25 \times 4 = 2600\)

Vậy, có 2600 cách chọn ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp S.

Bước 2: Phân loại các số trong tập hợp S theo số dư khi chia cho 5

Để \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 5, chúng ta cần xem xét số dư của \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) khi chia cho 5. Số dư của một số nguyên khi chia cho 5 chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4.

Bình phương của các số này khi chia cho 5 có số dư như sau:

• Nếu số dư là 0 (số chia hết cho 5): \(0^2 \equiv 0 \pmod{5}\)
• Nếu số dư là 1 hoặc 4: \(1^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(4^2 = 16 \equiv 1 \pmod{5}\)
• Nếu số dư là 2 hoặc 3: \(2^2 = 4 \equiv 4 \pmod{5}\), \(3^2 = 9 \equiv 4 \pmod{5}\)

Như vậy, \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) khi chia cho 5 chỉ có thể có số dư là 0, 1, hoặc 4.

Bây giờ, chúng ta sẽ phân loại các số trong tập hợp S = {1; 2; …; 26} dựa trên số dư của chúng khi chia cho 5:

• Số dư là 0 (chia hết cho 5): Các số này có dạng \(5k\). Trong tập S, đó là: 5, 10, 15, 20, 25. Có 5 số.
• Số dư là 1: Các số này có dạng \(5k+1\). Trong tập S, đó là: 1, 6, 11, 16, 21, 26. Có 6 số.
• Số dư là 2: Các số này có dạng \(5k+2\). Trong tập S, đó là: 2, 7, 12, 17, 22. Có 5 số.
• Số dư là 3: Các số này có dạng \(5k+3\). Trong tập S, đó là: 3, 8, 13, 18, 23. Có 5 số.
• Số dư là 4: Các số này có dạng \(5k+4\). Trong tập S, đó là: 4, 9, 14, 19, 24. Có 5 số.

Tổng số các số: 5 + 6 + 5 + 5 + 5 = 26. Đúng với số phần tử của tập hợp S.

Chúng ta ký hiệu các nhóm số này như sau:

• Nhóm R0: Các số có số dư là 0 khi chia cho 5. Số phần tử \(n(R0) = 5\). Số dư của bình phương khi chia cho 5 là 0.
• Nhóm R1: Các số có số dư là 1 khi chia cho 5. Số phần tử \(n(R1) = 6\). Số dư của bình phương khi chia cho 5 là 1.
• Nhóm R2: Các số có số dư là 2 khi chia cho 5. Số phần tử \(n(R2) = 5\). Số dư của bình phương khi chia cho 5 là 4.
• Nhóm R3: Các số có số dư là 3 khi chia cho 5. Số phần tử \(n(R3) = 5\). Số dư của bình phương khi chia cho 5 là 4.
• Nhóm R4: Các số có số dư là 4 khi chia cho 5. Số phần tử \(n(R4) = 5\). Số dư của bình phương khi chia cho 5 là 1.

Bước 3: Tìm các trường hợp \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 5

Điều kiện \(a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod{5}\) xảy ra khi tổng số dư của \(a^2\), \(b^2\), \(c^2\) khi chia cho 5 bằng 0 (hoặc bằng 5, 10, …).

Các số dư của bình phương khi chia cho 5 là {0, 1, 4}. Chúng ta cần tìm các bộ ba số dư (x, y, z) từ {0, 1, 4} sao cho \(x + y + z \equiv 0 \pmod{5}\).

Các trường hợp có thể xảy ra là:

1. Trường hợp 1: Ba số đều có \(bình phương\) chia hết cho 5.

Tức là \(a^2 \equiv 0 \pmod{5}\), \(b^2 \equiv 0 \pmod{5}\), \(c^2 \equiv 0 \pmod{5}\). Điều này có nghĩa là a, b, c đều thuộc nhóm R0.

Số cách chọn là: \(C_{n(R0)}^3 = C_5^3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\) cách.

2. Trường hợp 2: Một số có \(bình phương\) chia hết cho 5, hai số còn lại có \(bình phương\) có số dư là 2 hoặc 3 (tức là 4 khi chia cho 5).

Tức là \(a^2 \equiv 0 \pmod{5}\), \(b^2 \equiv 4 \pmod{5}\), \(c^2 \equiv 4 \pmod{5}\).
Điều này có nghĩa là a thuộc nhóm R0, và b, c thuộc nhóm R2 hoặc R3.

Số phần tử thuộc nhóm R2 hoặc R3 là \(n(R2) + n(R3) = 5 + 5 = 10\).

Số cách chọn là: \(C_{n(R0)}^1 \times C_{n(R2) + n(R3)}^2 = C_5^1 \times C_{10}^2 = 5 \times \frac{10!}{2!8!} = 5 \times \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 5 \times 45 = 225\) cách.

3. Trường hợp 3: Ba số có \(bình phương\) có số dư là 1 khi chia cho 5.

Tức là \(a^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(b^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(c^2 \equiv 1 \pmod{5}\).

Các số có \(bình phương\) chia cho 5 dư 1 là các số thuộc nhóm R1 và R4.

Số phần tử thuộc nhóm R1 hoặc R4 là \(n(R1) + n(R4) = 6 + 5 = 11\).

Số cách chọn là: \(C_{n(R1) + n(R4)}^3 = C_{11}^3 = \frac{11!}{3!8!} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165\) cách.

4. Trường hợp 4: Hai số có \(bình phương\) có số dư là 1, một số có \(bình phương\) có số dư là 3 (tức là 4 khi chia cho 5).

Tức là \(a^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(b^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(c^2 \equiv 4 \pmod{5}\). Lưu ý rằng 1+1+4 = 6, chia 5 dư 1, không thỏa mãn. Trường hợp này bị loại.

Chúng ta cần xem xét tổng số dư của \(a^2, b^2, c^2\). Các số dư của bình phương là {0, 1, 4}.

Các bộ ba số dư (x, y, z) từ {0, 1, 4} sao cho \(x+y+z \equiv 0 \pmod{5}\) là:

• (0, 0, 0): \(0+0+0 = 0 \equiv 0 \pmod{5}\) – Đã xét ở Trường hợp 1.
• (1, 1, 1): \(1+1+1 = 3 \not\equiv 0 \pmod{5}\) – Loại.
• (4, 4, 4): \(4+4+4 = 12 \equiv 2 \pmod{5}\) – Loại.
• (0, 1, 4): \(0+1+4 = 5 \equiv 0 \pmod{5}\)
• (0, 4, 1): Tương tự (0, 1, 4).
• (1, 0, 4): Tương tự (0, 1, 4).
• (4, 0, 1): Tương tự (0, 1, 4).
• (1, 4, 0): Tương tự (0, 1, 4).
• (4, 1, 0): Tương tự (0, 1, 4).
• (1, 1, ?) – Cần tổng là 0 mod 5. 1+1 = 2, cần 3 mod 5. Không có số dư 3 cho bình phương.
• (4, 4, ?) – Cần tổng là 0 mod 5. 4+4 = 8. Cần -8 mod 5, tức là 2 mod 5. Không có số dư 2 cho bình phương.
• (0, 0, ?) – Cần tổng là 0 mod 5. 0+0 = 0, cần 0 mod 5. Đã xét ở Trường hợp 1.

Vậy chúng ta cần xem xét trường hợp có số dư (0, 1, 4).

5. Trường hợp 4 (mới): Một số có \(bình phương\) chia hết cho 5, một số có \(bình phương\) dư 1, một số có \(bình phương\) dư 4.

Tức là \(a^2 \equiv 0 \pmod{5}\), \(b^2 \equiv 1 \pmod{5}\), \(c^2 \equiv 4 \pmod{5}\).

Điều này có nghĩa là:

• a thuộc nhóm R0 (số dư 0 khi chia cho 5, \(a^2 \equiv 0 \pmod{5}\)).
• b thuộc nhóm R1 hoặc R4 (số dư 1 hoặc 4 khi chia cho 5, \(b^2 \equiv 1 \pmod{5}\)).
• c thuộc nhóm R2 hoặc R3 (số dư 2 hoặc 3 khi chia cho 5, \(c^2 \equiv 4 \pmod{5}\)).

Số cách chọn là: \(C_{n(R0)}^1 \times C_{n(R1)+n(R4)}^1 \times C_{n(R2)+n(R3)}^1\)

Số phần tử có \(bình phương\) dư 1 là \(n(R1) + n(R4) = 6 + 5 = 11\).

Số phần tử có \(bình phương\) dư 4 là \(n(R2) + n(R3) = 5 + 5 = 10\).

Số cách chọn là: \(C_5^1 \times C_{11}^1 \times C_{10}^1 = 5 \times 11 \times 10 = 550\) cách.

Tổng số các kết quả thuận lợi (ký hiệu là \(n(A)\)) là tổng của các trường hợp trên:

\(n(A) = 10 + 225 + 165 + 550 = 950\) cách.

Bước 4: Tính xác suất

Xác suất của biến cố A (3 số chọn ra thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 5) được tính bằng công thức:

\(P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)}\)
\(P(A) = \frac{950}{2600}\)

Ta rút gọn phân số này:

\(P(A) = \frac{95}{260} = \frac{19}{52}\)

Kết luận:

Vậy, xác suất để 3 số chọn ra thỏa mãn \(a^2 + b^2 + c^2\) chia hết cho 5 là \(\frac{19}{52}\).