Để làm được bài này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh bằng phản chứng. Phương pháp này hoạt động như thế nào? Chúng ta sẽ giả sử điều ngược lại với điều cần chứng minh là đúng, sau đó suy luận từng bước để dẫn đến một mâu thuẫn. Nếu mâu thuẫn xảy ra, thì điều giả sử ban đầu của chúng ta là sai, và điều ngược lại (điều chúng ta cần chứng minh) là đúng.

Bước 1: Giả sử điều ngược lại là đúng.

Chúng ta cần chứng minh \(\sqrt{\frac{6}{5}}\) là số vô tỉ. Vậy, theo phương pháp phản chứng, chúng ta sẽ giả sử:

\(\sqrt{\frac{6}{5}}\) là một số hữu tỉ.

Bước 2: Biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng phân số tối giản.

Nếu \(\sqrt{\frac{6}{5}}\) là số hữu tỉ, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng phân số \(\frac{a}{b}\), trong đó \(a\) và \(b\) là các số nguyên, \(b \neq 0\), và phân số \(\frac{a}{b}\) là tối giản. Điều này có nghĩa là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\) là 1, tức là \(ƯCLN(a, b) = 1\).

Vậy, ta có:

\(\sqrt{\frac{6}{5}} = \frac{a}{b}\) (với \(a, b \in \mathbb{Z}\), \(b \neq 0\), \(ƯCLN(a, b) = 1\))

Bước 3: Bình phương hai vế của phương trình.

Để loại bỏ căn bậc hai, chúng ta sẽ bình phương cả hai vế của phương trình:

\(\left(\sqrt{\frac{6}{5}}\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2\)

\(\frac{6}{5} = \frac{a^2}{b^2}\)

Bước 4: Biến đổi phương trình để tìm mối quan hệ giữa \(a^2\), \(b^2\), 6 và 5.

Nhân chéo hai vế, ta được:

\(6b^2 = 5a^2\)

Bước 5: Phân tích tính chia hết.

Từ phương trình \(6b^2 = 5a^2\), chúng ta có thể suy luận như sau:

Vì \(6b^2 = 5a^2\), điều này có nghĩa là \(6b^2\) chia hết cho 5. Do 6 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau (không có ước chung nào khác 1), nên \(b^2\) phải chia hết cho 5.

Nếu \(b^2\) chia hết cho 5, thì \(b\) cũng phải chia hết cho 5. (Giải thích: Nếu một số chính phương chia hết cho một số nguyên tố \(p\), thì bản thân số đó cũng chia hết cho \(p\). Trong trường hợp này, \(p=5\)).

Vì \(b\) chia hết cho 5, chúng ta có thể viết \(b = 5k\), trong đó \(k\) là một số nguyên.

Bây giờ, chúng ta cũng từ phương trình \(6b^2 = 5a^2\), ta thấy rằng \(5a^2\) chia hết cho 6. Chúng ta cũng có thể suy luận tương tự: \(5a^2\) chia hết cho 2 và \(5a^2\) chia hết cho 3.

Vì \(5a^2\) chia hết cho 2, mà 5 không chia hết cho 2, nên \(a^2\) phải chia hết cho 2. Nếu \(a^2\) chia hết cho 2, thì \(a\) cũng phải chia hết cho 2.

Vì \(5a^2\) chia hết cho 3, mà 5 không chia hết cho 3, nên \(a^2\) phải chia hết cho 3. Nếu \(a^2\) chia hết cho 3, thì \(a\) cũng phải chia hết cho 3.

Do \(a\) vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, nên \(a\) phải chia hết cho bội chung nhỏ nhất của 2 và 3, tức là \(a\) chia hết cho 6. Chúng ta có thể viết \(a = 6m\), trong đó \(m\) là một số nguyên.

Bước 6: Tìm mâu thuẫn.

Chúng ta đã suy luận rằng \(a\) chia hết cho 2 và \(b\) chia hết cho 5. Tuy nhiên, chúng ta đã giả sử ban đầu rằng phân số \(\frac{a}{b}\) là tối giản, tức là \(ƯCLN(a, b) = 1\). Điều này có nghĩa là \(a\) và \(b\) không được cùng chia hết cho bất kỳ số nguyên nào khác 1.

Mâu thuẫn ở đây là: chúng ta có \(b\) chia hết cho 5, và chúng ta cũng suy luận được rằng \(a\) chia hết cho 2 và 3. Nếu \(a\) chia hết cho 2 và \(b\) chia hết cho 5, thì \(a\) và \(b\) có thể có ước chung là 1.

Thầy xin lỗi, thầy đã có một chút nhầm lẫn trong cách trình bày suy luận ở Bước 5. Chúng ta hãy làm lại Bước 5 và 6 một cách chính xác hơn.

Bước 5 (Sửa lại): Phân tích tính chia hết.

Từ phương trình \(6b^2 = 5a^2\):

1. Vì \(6b^2 = 5a^2\), vế trái chia hết cho 6, nên vế phải \(5a^2\) cũng phải chia hết cho 6.

Do 5 và 6 nguyên tố cùng nhau, nên \(a^2\) phải chia hết cho 6.

Nếu \(a^2\) chia hết cho 6, thì \(a^2\) chia hết cho 2 và \(a^2\) chia hết cho 3.

Nếu \(a^2\) chia hết cho 2, thì \(a\) chia hết cho 2.

Nếu \(a^2\) chia hết cho 3, thì \(a\) chia hết cho 3.

Do \(a\) chia hết cho cả 2 và 3, nên \(a\) chia hết cho \(ƯCLN(2, 3) = 6\). Vậy ta có thể viết \(a = 6m\) với \(m \in \mathbb{Z}\).

2. Tương tự, từ \(6b^2 = 5a^2\), vế phải chia hết cho 5, nên vế trái \(6b^2\) cũng phải chia hết cho 5.

Do 6 và 5 nguyên tố cùng nhau, nên \(b^2\) phải chia hết cho 5.

Nếu \(b^2\) chia hết cho 5, thì \(b\) phải chia hết cho 5.

Vậy ta có thể viết \(b = 5n\) với \(n \in \mathbb{Z}\).

Bước 6 (Sửa lại): Tìm mâu thuẫn.

Chúng ta đã suy luận rằng \(a\) chia hết cho 6 và \(b\) chia hết cho 5. Điều này có nghĩa là \(a\) và \(b\) có ước chung là ít nhất là 5. Tuy nhiên, chúng ta đã giả sử ban đầu rằng phân số \(\frac{a}{b}\) là tối giản, tức là \(ƯCLN(a, b) = 1\).

Sự tồn tại của ước chung là 5 (hoặc bất kỳ ước chung nào khác 1) mâu thuẫn trực tiếp với giả định rằng \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bước 7: Kết luận.

Vì giả sử ban đầu của chúng ta dẫn đến mâu thuẫn, nên giả sử đó là sai.

Do đó, \(\sqrt{\frac{6}{5}}\) không phải là số hữu tỉ.

Vậy, \(\sqrt{\frac{6}{5}}\) là một số vô tỉ.

Các em thấy đó, thông qua phương pháp phản chứng, chúng ta đã chứng minh được điều cần thiết. Đây là một phương pháp rất hữu ích trong toán học, các em hãy ghi nhớ nhé!