Xin chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất thú vị về đa thức. Đây là một dạng bài thường gặp, giúp chúng ta rèn luyện khả năng biến đổi và lập luận trong Toán học.

Đề bài: Chứng minh đa thức sau vô nghiệm:

\(f(x) = x^{2} – 4x + 7\)

Để chứng minh một đa thức vô nghiệm, chúng ta cần chỉ ra rằng không có giá trị nào của \(x\) (là số thực) làm cho giá trị của đa thức đó bằng 0. Nói cách khác, chúng ta cần chứng minh rằng phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thực.

Trong chương trình Toán lớp 7, phương pháp phổ biến và hiệu quả nhất để giải quyết dạng bài này là đưa đa thức về dạng bình phương của một biểu thức cộng với một số dương.

Hãy cùng phân tích đa thức \(f(x) = x^{2} – 4x + 7\) nhé!

Chúng ta nhớ lại các hằng đẳng thức đáng nhớ mà mình đã học, đặc biệt là bình phương của một hiệu:
\((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\)

Quan sát đa thức \(f(x)\), chúng ta thấy có các số hạng \(x^2\) và \(-4x\). Chúng ta có thể coi \(a = x\) và \(2ab = 4x\).
Nếu \(a = x\), thì \(2xb = 4x\). Từ đó, chúng ta dễ dàng suy ra \(b = 2\).
Vậy, chúng ta muốn tạo ra bình phương của một hiệu có dạng \((x – 2)^2\).

Hãy khai triển \((x – 2)^2\):
\((x – 2)^2 = x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2\)
\((x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4\)

Bây giờ, chúng ta sẽ biến đổi đa thức \(f(x)\) để xuất hiện \((x – 2)^2\):
\(f(x) = x^{2} – 4x + 7\)
\(f(x) = (x^{2} – 4x + 4) + 3\)    (Chúng ta đã tách \(7\) thành \(4 + 3\))
\(f(x) = (x – 2)^2 + 3\)

Tuyệt vời! Chúng ta đã đưa đa thức về dạng \((x – 2)^2 + 3\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đánh giá giá trị của biểu thức này:

1. Chúng ta biết rằng, bình phương của một số thực bất kỳ luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
Do đó, \((x – 2)^2 \ge 0\) với mọi giá trị của \(x\).

2. Khi chúng ta cộng thêm một số dương vào một biểu thức không âm, kết quả sẽ luôn là một số dương.
Vì \((x – 2)^2 \ge 0\), nên khi cộng thêm 3, ta có:
\((x – 2)^2 + 3 \ge 0 + 3\)
\((x – 2)^2 + 3 \ge 3\)

Vậy, chúng ta kết luận rằng:
\(f(x) = (x – 2)^2 + 3 \ge 3\) với mọi giá trị của \(x\).

Điều này có nghĩa là giá trị nhỏ nhất của đa thức \(f(x)\) là 3, và \(f(x)\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 3.
Vì \(f(x)\) luôn lớn hơn hoặc bằng 3, nên \(f(x)\) không bao giờ có thể bằng 0.

Kết luận: Vì \(f(x) \ge 3\) với mọi số thực \(x\), nên không tồn tại giá trị \(x\) nào để \(f(x) = 0\). Do đó, đa thức \(f(x) = x^{2} – 4x + 7\) là vô nghiệm.

Các em thấy không, bằng cách biến đổi khéo léo và sử dụng hằng đẳng thức, chúng ta đã dễ dàng chứng minh được điều này. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững phương pháp nhé!

Chúc các em học tốt!