Chào các em học sinh lớp 9,

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh về căn thức. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh đẳng thức sau:

\(( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) ( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 } = -2\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt biến đổi vế trái (VT) để đưa về kết quả là -2. Hãy cùng phân tích từng phần của biểu thức nhé.

Bước 1: Phân tích và biến đổi các nhân tử

Chúng ta có ba nhân tử trong vế trái:

1. Nhân tử thứ nhất: \(( \sqrt{6} + \sqrt{2} )\)
2. Nhân tử thứ hai: \(( \sqrt{3} – 2 )\)
3. Nhân tử thứ ba: \(( \sqrt{ \sqrt{3} + 2 } )\)

Ta sẽ bắt đầu biến đổi nhân tử thứ nhất:

\(( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + \sqrt{2}\)

Đặt \(\sqrt{2}\) làm nhân tử chung, ta được:

\(( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) = \sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1 )\)

Tiếp theo, ta sẽ kết hợp nhân tử thứ hai và nhân tử thứ ba: \(( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 }\)

Các em để ý rằng \(\sqrt{3} \approx 1.732\), do đó \(\sqrt{3} – 2\) là một số âm. Cụ thể: \(\sqrt{3} – 2 < 0\).

Vì \(\sqrt{3} – 2\) là số âm, để đưa nó vào trong dấu căn, chúng ta cần đặt dấu trừ ra ngoài:

\(( \sqrt{3} – 2 ) = – ( 2 – \sqrt{3} )\)

Khi đó, tích của hai nhân tử này sẽ là:

\(( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 } = – ( 2 – \sqrt{3} ) \sqrt{ 2 + \sqrt{3} }\)

Bây giờ, vì \((2 – \sqrt{3})\) là số dương, ta có thể đưa nó vào trong dấu căn:

\(- ( 2 – \sqrt{3} ) \sqrt{ 2 + \sqrt{3} } = – \sqrt{ ( 2 – \sqrt{3} )^2 ( 2 + \sqrt{3} ) }\)

Triển khai \((2 – \sqrt{3})^2\):

\(( 2 – \sqrt{3} )^2 = 2^2 – 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + ( \sqrt{3} )^2 = 4 – 4\sqrt{3} + 3 = 7 – 4\sqrt{3}\)

Thay vào biểu thức, ta được:

\(- \sqrt{ ( 7 – 4\sqrt{3} ) ( 2 + \sqrt{3} ) }\)

Tiếp theo, ta nhân hai biểu thức trong dấu căn:

\(( 7 – 4\sqrt{3} ) ( 2 + \sqrt{3} ) = 7 \cdot 2 + 7\sqrt{3} – 4\sqrt{3} \cdot 2 – 4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)

\(= 14 + 7\sqrt{3} – 8\sqrt{3} – 4 \cdot 3\)

\(= 14 – \sqrt{3} – 12\)

\(= 2 – \sqrt{3}\)

Vậy, ta có:

\(( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 } = – \sqrt{ 2 – \sqrt{3} }\)

Bước 2: Ghép các kết quả đã biến đổi lại

Bây giờ, ta sẽ thay các phần đã biến đổi vào vế trái của biểu thức ban đầu:

VT = \(( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) ( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 }\)

VT = \(\left[ \sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1 ) \right] \left[ – \sqrt{ 2 – \sqrt{3} } \right]\)

Sắp xếp lại các nhân tử:

VT = \( – \sqrt{2} ( \sqrt{3} + 1 ) \sqrt{ 2 – \sqrt{3} }\)

Ta có thể đưa \(\sqrt{2}\) vào trong dấu căn thứ hai (vì \(\sqrt{2} > 0\)):

VT = \( – ( \sqrt{3} + 1 ) \sqrt{ 2 ( 2 – \sqrt{3} ) }\)

VT = \( – ( \sqrt{3} + 1 ) \sqrt{ 4 – 2\sqrt{3} }\)

Bước 3: Rút gọn biểu thức còn lại

Bây giờ, chúng ta cần rút gọn biểu thức \(\sqrt{ 4 – 2\sqrt{3} }\). Đây là dạng căn bậc hai của một số có chứa căn (căn lồng nhau).

Chúng ta có thể biến đổi biểu thức trong căn thành một bình phương hoàn chỉnh:

\(4 – 2\sqrt{3} = 3 – 2\sqrt{3} + 1 = ( \sqrt{3} )^2 – 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = ( \sqrt{3} – 1 )^2\)

Vậy, ta có:

\(\sqrt{ 4 – 2\sqrt{3} } = \sqrt{ ( \sqrt{3} – 1 )^2 }\)

Vì \(\sqrt{3} \approx 1.732\), nên \(\sqrt{3} – 1 > 0\). Do đó:

\(\sqrt{ ( \sqrt{3} – 1 )^2 } = \sqrt{3} – 1\)

Thay kết quả này vào biểu thức VT:

VT = \( – ( \sqrt{3} + 1 ) ( \sqrt{3} – 1 )\)

Đây là hằng đẳng thức đáng nhớ \((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\):

VT = \( – \left[ ( \sqrt{3} )^2 – 1^2 \right]\)

VT = \( – [ 3 – 1 ]\)

VT = \( – [ 2 ]\)

VT = \( -2\)

Kết luận:

Chúng ta đã biến đổi vế trái của đẳng thức và thu được kết quả là -2. Điều này chứng tỏ đẳng thức đã cho là đúng.

Vậy: \(( \sqrt{6} + \sqrt{2} ) ( \sqrt{3} – 2 ) \sqrt{ \sqrt{3} + 2 } = -2\) (Điều phải chứng minh)

Các em nhớ lưu ý các bước biến đổi, đặc biệt là việc xử lý dấu âm khi đưa một số vào trong dấu căn, và cách rút gọn căn lồng nhau nhé!

Chúc các em học tốt!