Chào các em, hôm nay thầy sẽ cùng các em đi giải một bài toán về chứng minh chia hết rất thú vị. Đề bài của chúng ta là: “Chứng minh rằng mọi số nguyên x, y thì \(A = (3x – 4y)x – (y + 3x)x\) chia hết cho 5.”

Trước tiên, chúng ta cần phải hiểu rõ đề bài yêu cầu gì. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với bất kỳ cặp số nguyên nào của x và y, biểu thức A luôn luôn chia hết cho 5.

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành biến đổi biểu thức A để xem nó có dạng như thế nào.

Bước 1: Khai triển và rút gọn biểu thức A

Ta có biểu thức A như sau:

\(A = (3x – 4y)x – (y + 3x)x\)

Chúng ta sẽ nhân x vào từng ngoặc:

\(A = (3x \cdot x – 4y \cdot x) – (y \cdot x + 3x \cdot x)\)
\(A = (3x^2 – 4xy) – (xy + 3x^2)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ bỏ ngoặc. Lưu ý rằng dấu trừ ở phía trước ngoặc thứ hai sẽ làm đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc đó:

\(A = 3x^2 – 4xy – xy – 3x^2\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau để rút gọn:

\(A = (3x^2 – 3x^2) + (-4xy – xy)\)
\(A = 0 + (-5xy)\)
\(A = -5xy\)

Bước 2: Chứng minh A chia hết cho 5

Sau khi rút gọn, chúng ta thu được \(A = -5xy\).

Chúng ta cần chứng minh rằng A chia hết cho 5. Dựa vào kết quả \(A = -5xy\), chúng ta có thể thấy rằng biểu thức A có thừa số là -5.

Vì \(A = -5xy\), ta có thể viết A dưới dạng:

\(A = 5 \cdot (-xy)\)

Do x và y là các số nguyên, tích của chúng \(xy\) cũng là một số nguyên.

Tương tự, \( -xy \) cũng là một số nguyên.

Vì A bằng 5 nhân với một số nguyên nào đó (là \( -xy \)), theo định nghĩa của phép chia hết, điều này có nghĩa là A chia hết cho 5.

Kết luận:

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng với mọi số nguyên x và y, biểu thức \(A = (3x – 4y)x – (y + 3x)x\) luôn chia hết cho 5.

Các em có chỗ nào chưa hiểu không? Hãy hỏi thầy nhé!