Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh chia hết rất thú vị và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 nhé. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng biểu thức \(N\) sau đây chia hết cho 8:

Bài toán: Chứng minh rằng \(N = 7^6 + 2 \times 7^3 + 8^{2022} + 1\) chia hết cho 8.

Để chứng minh một số chia hết cho 8, chúng ta có thể sử dụng tính chất của phép chia hết hoặc xét số dư khi chia cho 8 (hay còn gọi là đồng dư thức modulo 8). Ở đây, cô sẽ hướng dẫn các em dùng phương pháp xét số dư vì nó rất hiệu quả cho các bài toán có số mũ lớn như thế này.

Chúng ta sẽ xét từng thành phần của biểu thức \(N\) khi chia cho 8:

1. Xét \(7^6\):

Chúng ta thấy rằng \(7\) khi chia cho 8 có số dư là 7. Một cách viết khác tiện lợi hơn trong tính toán là \(7\) đồng dư với \(-1\) theo modulo 8, vì \(7 = 1 \times 8 – 1\).

Do đó, ta có:

\(7 \equiv -1 \pmod{8}\)

Khi đó, nâng lên lũy thừa 6, ta được:

\(7^6 \equiv (-1)^6 \pmod{8}\)

Vì \((-1)^6 = 1\), nên:

\(7^6 \equiv 1 \pmod{8}\) (1)

2. Xét \(2 \times 7^3\):

Tương tự như trên, \(7 \equiv -1 \pmod{8}\)

Do đó, nâng lên lũy thừa 3:

\(7^3 \equiv (-1)^3 \pmod{8}\)

Vì \((-1)^3 = -1\), nên:

\(7^3 \equiv -1 \pmod{8}\)

Từ đó, nhân với 2, ta có:

\(2 \times 7^3 \equiv 2 \times (-1) \pmod{8}\)

\(2 \times 7^3 \equiv -2 \pmod{8}\) (2)

(Các em lưu ý: \(-2 \pmod{8}\) cũng tương đương với \(6 \pmod{8}\) vì \(-2 + 8 = 6\). Tuy nhiên, giữ \(-2\) đôi khi giúp tính toán dễ hơn khi cộng trừ các số dư).

3. Xét \(8^{2022}\):

Số \(8^{2022}\) là một lũy thừa của 8. Điều này có nghĩa là \(8^{2022}\) chắc chắn là một bội số của 8.

Do đó, \(8^{2022}\) chia hết cho 8.

Hay nói cách khác:

\(8^{2022} \equiv 0 \pmod{8}\) (3)

4. Xét \(1\):

Số 1 khi chia cho 8 có số dư là chính nó.

Do đó:

\(1 \equiv 1 \pmod{8}\) (4)

Bây giờ, chúng ta sẽ cộng các số dư của từng thành phần lại để tìm số dư của \(N\) khi chia cho 8:

Từ các kết quả (1), (2), (3) và (4), ta có:

\(N = 7^6 + 2 \times 7^3 + 8^{2022} + 1\)

\(N \equiv 1 + (-2) + 0 + 1 \pmod{8}\)

Thực hiện phép cộng các số dư:

\(N \equiv (1 + 1) – 2 + 0 \pmod{8}\)

\(N \equiv 2 – 2 \pmod{8}\)

\(N \equiv 0 \pmod{8}\)

Kết luận:

Vì \(N \equiv 0 \pmod{8}\), điều này có nghĩa là \(N\) có số dư bằng 0 khi chia cho 8. Hay nói cách khác, \(N\) chia hết cho 8.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \(7^6 + 2 \times 7^3 + 8^{2022} + 1\) chia hết cho 8.

Các em nhớ rằng phương pháp đồng dư thức (modulo) rất mạnh mẽ trong việc giải các bài toán chia hết, đặc biệt là với các số có mũ lớn nhé! Cố gắng luyện tập thêm để thành thạo hơn!