Đề bài: Chứng minh rằng nếu

c nguyên tố cùng với a và b thì c là nguyên tố cùng nhau với tích ab.

Chúng ta sẽ cùng nhau đi qua từng bước để hiểu rõ bài toán này.

Phân tích đề bài:

* Nguyên tố cùng nhau: Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Ký hiệu là \((a, c) = 1\) và \((b, c) = 1\).
* Tích ab: Đây là kết quả của phép nhân giữa số a và số b.
* Mục tiêu: Chúng ta cần chứng minh rằng \((ab, c) = 1\).

Các bước chứng minh:

Để chứng minh \((ab, c) = 1\), chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất của hai số \(ab\) và \(c\) là 1. Điều này có nghĩa là chúng không có bất kỳ ước chung nào khác ngoài 1.

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phản chứng để giải bài toán này.

Bước 1: Giả sử điều ngược lại

Giả sử rằng \(c\) không nguyên tố cùng nhau với \(ab\).
Điều này có nghĩa là \((ab, c) \neq 1\).
Nếu \((ab, c) \neq 1\), thì \(ab\) và \(c\) có ít nhất một ước chung lớn hơn 1.
Gọi \(d\) là một ước chung của \(ab\) và \(c\), và \(d > 1\).

Bước 2: Phân tích ước chung d

Vì \(d\) là một ước chung của \(ab\) và \(c\), nên:
* \(d\) là ước của \(ab\).
* \(d\) là ước của \(c\).

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét số \(d\). Vì \(d > 1\), nên \(d\) phải có ít nhất một ước nguyên tố. Gọi \(p\) là một ước nguyên tố của \(d\).

Bước 3: Liên hệ p với a, b và c

Vì \(p\) là ước của \(d\), và \(d\) là ước của \(ab\), nên \(p\) cũng là ước của \(ab\).
Điều này có nghĩa là \(p\) chia hết cho \(ab\).
Theo tính chất của số nguyên tố, nếu một số nguyên tố \(p\) chia hết cho một tích \(ab\), thì \(p\) phải chia hết cho ít nhất một trong các thừa số của tích đó.
Do đó, \(p\) chia hết cho \(a\) hoặc \(p\) chia hết cho \(b\) (hoặc cả hai).

Mặt khác, vì \(p\) là ước của \(d\), và \(d\) là ước của \(c\), nên \(p\) cũng là ước của \(c\).
Điều này có nghĩa là \(p\) chia hết cho \(c\).

Bước 4: Tìm mâu thuẫn

Bây giờ, chúng ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: p chia hết cho a

Nếu \(p\) chia hết cho \(a\), và \(p\) chia hết cho \(c\), thì \(p\) là một ước chung của \(a\) và \(c\).
Vì \(p\) là một số nguyên tố, nên \(p \geq 2\).
Do đó, \(a\) và \(c\) có một ước chung \(p\) lớn hơn 1.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu của chúng ta là \(c\) nguyên tố cùng với \(a\) (tức là \((a, c) = 1\)).

Trường hợp 2: p chia hết cho b

Nếu \(p\) chia hết cho \(b\), và \(p\) chia hết cho \(c\), thì \(p\) là một ước chung của \(b\) và \(c\).
Vì \(p\) là một số nguyên tố, nên \(p \geq 2\).
Do đó, \(b\) và \(c\) có một ước chung \(p\) lớn hơn 1.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu của chúng ta là \(c\) nguyên tố cùng với \(b\) (tức là \((b, c) = 1\)).

Bước 5: Kết luận

Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều dẫn đến mâu thuẫn.
Điều này chứng tỏ giả sử ban đầu của chúng ta là sai.
Vậy, giả sử \(c\) không nguyên tố cùng nhau với \(ab\) là sai.

Do đó, chúng ta kết luận rằng nếu \(c\) nguyên tố cùng với \(a\) và \(b\) thì \(c\) là nguyên tố cùng nhau với tích \(ab\).
Nói cách khác, nếu \((a, c) = 1\) và \((b, c) = 1\), thì \((ab, c) = 1\).

Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em nhớ ôn tập kỹ bài này nhé!