Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến tổng các phân số chứa căn thức. Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh rằng biểu thức \(P\) không phải là một số nguyên.

Đề bài: Chứng minh rằng \(P = 1/(\sqrt{1} + \sqrt{2}) + 1/(\sqrt{3} + \sqrt{4}) + 1/(\sqrt{5} + \sqrt{6}) +…+ 1/(\sqrt{99} + \sqrt{100})\) không phải là số nguyên.

Phân tích bài toán và hướng giải quyết:

Biểu thức \(P\) là tổng của 50 số hạng, mỗi số hạng có dạng \(1/(\sqrt{n} + \sqrt{n+1})\). Để dễ dàng tính toán hoặc đánh giá tổng này, việc đầu tiên chúng ta thường làm với các biểu thức chứa căn ở mẫu là trục căn thức ở mẫu.

Bước 1: Trục căn thức ở mẫu cho số hạng tổng quát

Xét một số hạng có dạng \(1/(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})\). Chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu, tức là \((\sqrt{k} – \sqrt{k+1})\) hoặc \((\sqrt{k+1} – \sqrt{k})\) để mẫu trở thành số nguyên dương.

Ta có:

\( \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} = \frac{1 \times (\sqrt{k+1} – \sqrt{k})}{(\sqrt{k} + \sqrt{k+1})(\sqrt{k+1} – \sqrt{k})} \)

\( = \frac{\sqrt{k+1} – \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2 – (\sqrt{k})^2} \)

\( = \frac{\sqrt{k+1} – \sqrt{k}}{(k+1) – k} \)

\( = \frac{\sqrt{k+1} – \sqrt{k}}{1} \)

\( = \sqrt{k+1} – \sqrt{k} \)

Bước 2: Viết lại biểu thức P

Áp dụng kết quả trên cho từng số hạng trong \(P\):

\( \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \sqrt{2} – \sqrt{1} \)

\( \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} = \sqrt{4} – \sqrt{3} \)

\( \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{6}} = \sqrt{6} – \sqrt{5} \)

…

\( \frac{1}{\sqrt{99} + \sqrt{100}} = \sqrt{100} – \sqrt{99} \)

Vậy, biểu thức \(P\) có thể viết lại như sau:

\( P = (\sqrt{2} – \sqrt{1}) + (\sqrt{4} – \sqrt{3}) + (\sqrt{6} – \sqrt{5}) + \dots + (\sqrt{100} – \sqrt{99}) \)

Bước 3: Đánh giá giá trị của P bằng cách chặn trên và chặn dưới

Để chứng minh \(P\) không phải là số nguyên, chúng ta sẽ cố gắng chứng minh rằng \(P\) nằm giữa hai số nguyên liên tiếp.

Xét một số hạng tổng quát có dạng \( \sqrt{k+1} – \sqrt{k} \).

Chúng ta sử dụng bất đẳng thức sau: Với \( k > 0 \), ta có

\( \frac{1}{2\sqrt{k+1}} < \sqrt{k+1} - \sqrt{k} < \frac{1}{2\sqrt{k}} \)

Chứng minh bất đẳng thức này (dành cho các bạn muốn hiểu sâu hơn):

Ta có: \( \sqrt{k+1} – \sqrt{k} = \frac{(k+1) – k}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} \)

Vì \( \sqrt{k} < \sqrt{k+1} \), nên:
\( \sqrt{k} + \sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k+1} \)
\( 2\sqrt{k} < \sqrt{k+1} + \sqrt{k} < 2\sqrt{k+1} \)

Lấy nghịch đảo các vế (và đổi chiều bất đẳng thức):

\( \frac{1}{2\sqrt{k+1}} < \frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} < \frac{1}{2\sqrt{k}} \)
Vậy, \( \frac{1}{2\sqrt{k+1}} < \sqrt{k+1} - \sqrt{k} < \frac{1}{2\sqrt{k}} \) (điều phải chứng minh).

Bây giờ, áp dụng bất đẳng thức này cho từng cặp số hạng trong \(P\). Các số hạng của \(P\) có dạng \((\sqrt{2j} – \sqrt{2j-1})\) với \(j\) chạy từ 1 đến 50.

Ta đặt \(k = 2j-1\). Khi đó \(k+1 = 2j\).

Vậy, \( \frac{1}{2\sqrt{2j}} < \sqrt{2j} - \sqrt{2j-1} < \frac{1}{2\sqrt{2j-1}} \)

a) Tìm cận dưới của P:

Sử dụng vế trái của bất đẳng thức: \( \sqrt{2j} – \sqrt{2j-1} > \frac{1}{2\sqrt{2j}} \)

\( P > \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{4}} + \frac{1}{2\sqrt{6}} + \dots + \frac{1}{2\sqrt{100}} \)

\( P > \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{4}} + \frac{1}{\sqrt{6}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{100}} \right) \)

\( P > \frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{50}} \right) \)

Gọi \( S_{50} = \sum_{i=1}^{50} \frac{1}{\sqrt{i}} \). Chúng ta biết rằng tổng này có thể được xấp xỉ bằng tích phân:

\( \int_{1}^{N+1} x^{-1/2} dx < \sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\sqrt{i}} < 1 + \int_{1}^{N} x^{-1/2} dx \)
Với \( N=50 \):

\( \int_{1}^{51} x^{-1/2} dx < S_{50} \)
\( [2\sqrt{x}]_{1}^{51} < S_{50} \)
\( 2\sqrt{51} – 2\sqrt{1} < S_{50} \)
\( 2 \times 7.1414 – 2 < S_{50} \) (vì \(\sqrt{51} \approx 7.1414\))
\( 14.2828 – 2 < S_{50} \)
\( S_{50} > 12.2828 \)

Do đó:

\( P > \frac{1}{2\sqrt{2}} \times 12.2828 \approx \frac{12.2828}{2.8284} \approx 4.342 \)

Vậy \( P > 4.342 \).

b) Tìm cận trên của P:

Sử dụng vế phải của bất đẳng thức: \( \sqrt{2j} – \sqrt{2j-1} < \frac{1}{2\sqrt{2j-1}} \)
\( P < \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{1}{2\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{2\sqrt{99}} \)
\( P < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{99}} \right) \)

Gọi \( S’_{50} = \sum_{j=1}^{50} \frac{1}{\sqrt{2j-1}} \). Chúng ta có thể xấp xỉ tổng này bằng tích phân:

\( S’_{50} < 1 + \int_{1}^{50} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx \)
\( \int_{1}^{50} \frac{1}{\sqrt{2x-1}} dx = [\sqrt{2x-1}]_{1}^{50} = \sqrt{2 \times 50 – 1} – \sqrt{2 \times 1 – 1} = \sqrt{99} – \sqrt{1} \)

\( = \sqrt{99} – 1 \approx 9.9499 – 1 = 8.9499 \)

Do đó:

\( S’_{50} < 1 + 8.9499 = 9.9499 \)

Vậy:

\( P < \frac{1}{2} \times 9.9499 \approx 4.975 \)

Vậy \( P < 4.975 \).

Bước 4: Kết luận

Từ kết quả ở Bước 3, chúng ta có:

\( 4.342 < P < 4.975 \)

Vì \(P\) nằm giữa 4 và 5, cụ thể là \(P\) lớn hơn 4 và nhỏ hơn 5, nên \(P\) không thể là một số nguyên.

Kết luận cuối cùng:

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(P = 1/(\sqrt{1} + \sqrt{2}) + 1/(\sqrt{3} + \sqrt{4}) + 1/(\sqrt{5} + \sqrt{6}) +…+ 1/(\sqrt{99} + \sqrt{100})\) không phải là số nguyên.

Các em nhớ kỹ phương pháp trục căn thức và kỹ thuật đánh giá tổng bằng cách chặn trên, chặn dưới này nhé. Đây là những công cụ rất hữu ích trong giải toán!