Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về số chính phương. Đây là một dạng bài thường gặp trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Đề bài: Chứng minh rằng số \(A\) có dạng

\(A = \underbrace{1111…1111}_{2022 \text{ số 1}} + \underbrace{4444…4444}_{1011 \text{ số 4}} + 1\)

là một số chính phương.

Trước hết, chúng ta hãy nhớ lại khái niệm về số chính phương. Số chính phương là số tự nhiên có thể viết dưới dạng bình phương của một số nguyên. Ví dụ: \(1 = 1^2\), \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\), v.v.

Bây giờ, chúng ta cùng phân tích biểu thức của số \(A\).

Bước 1: Biểu diễn các số có chữ số lặp lại dưới dạng công thức.

Chúng ta đã biết rằng:

• Số gồm \(n\) chữ số 1 có thể viết là: \(\underbrace{11…1}_{n \text{ số 1}} = \frac{10^n – 1}{9}\)
• Số gồm \(n\) chữ số \(k\) (với \(k\) là một chữ số) có thể viết là: \(\underbrace{kk…k}_{n \text{ số k}} = k \times \frac{10^n – 1}{9}\)

Áp dụng công thức này cho các thành phần của \(A\):

Thành phần thứ nhất: \(\underbrace{11…1}_{2022 \text{ số 1}}\)

Ở đây, \(n = 2022\), nên \(\underbrace{11…1}_{2022 \text{ số 1}} = \frac{10^{2022} – 1}{9}\)

Thành phần thứ hai: \(\underbrace{44…4}_{1011 \text{ số 4}}\)

Ở đây, \(n = 1011\) và \(k = 4\), nên \(\underbrace{44…4}_{1011 \text{ số 4}} = 4 \times \frac{10^{1011} – 1}{9}\)

Bước 2: Thay thế vào biểu thức của \(A\) và rút gọn.

Thay các biểu thức vừa tìm được vào \(A\):

\(A = \frac{10^{2022} – 1}{9} + 4 \times \frac{10^{1011} – 1}{9} + 1\)

Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ quy đồng mẫu số (mẫu số chung là 9):

\(A = \frac{(10^{2022} – 1) + 4(10^{1011} – 1) + 9 \times 1}{9}\)

Tiếp tục khai triển và rút gọn tử số:

\(A = \frac{10^{2022} – 1 + 4 \cdot 10^{1011} – 4 + 9}{9}\)

\(A = \frac{10^{2022} + 4 \cdot 10^{1011} + (-1 – 4 + 9)}{9}\)

\(A = \frac{10^{2022} + 4 \cdot 10^{1011} + 4}{9}\)

Bước 3: Nhận diện hằng đẳng thức đáng nhớ.

Các em hãy để ý tử số: \(10^{2022} + 4 \cdot 10^{1011} + 4\).

Chúng ta thấy rằng \(2022 = 2 \times 1011\). Do đó, \(10^{2022} = (10^{1011})^2\).

Đặt \(x = 10^{1011}\), thì tử số trở thành: \(x^2 + 4x + 4\).

Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).

Trong trường hợp này, \(a = x\) và \(b = 2\). Vậy, \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\).

Thay \(x = 10^{1011}\) trở lại, tử số là \((10^{1011} + 2)^2\).

Bước 4: Viết lại biểu thức của \(A\) dưới dạng bình phương.

Bây giờ chúng ta có:

\(A = \frac{(10^{1011} + 2)^2}{9}\)

Vì \(9 = 3^2\), chúng ta có thể viết lại là:

\(A = \frac{(10^{1011} + 2)^2}{3^2}\)

Sử dụng tính chất \(\frac{a^m}{b^m} = \left(\frac{a}{b}\right)^m\), ta được:

\(A = \left(\frac{10^{1011} + 2}{3}\right)^2\)

Bước 5: Kiểm tra xem cơ số có phải là số nguyên không.

Để \(A\) là số chính phương, thì \(\frac{10^{1011} + 2}{3}\) phải là một số nguyên.

Xét số \(10^{1011} + 2\).

Số \(10^{1011}\) là một số bắt đầu bằng chữ số 1 và theo sau là 1011 chữ số 0 (ví dụ: \(100…0\)).

Vậy, \(10^{1011} + 2\) sẽ là số \(100…02\) (chữ số cuối cùng là 2).

Tổng các chữ số của \(10^{1011} + 2\) là: \(1 + \underbrace{0 + 0 + … + 0}_{1010 \text{ số 0}} + 2 = 1 + 0 + 2 = 3\).

Vì tổng các chữ số của \(10^{1011} + 2\) là 3 (chia hết cho 3), nên số \(10^{1011} + 2\) chia hết cho 3.

Do đó, \(\frac{10^{1011} + 2}{3}\) là một số nguyên.

Kết luận:

Vì \(A = \left(\frac{10^{1011} + 2}{3}\right)^2\) và \(\frac{10^{1011} + 2}{3}\) là một số nguyên, nên \(A\) là một số chính phương.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng số đã cho là một số chính phương. Các em thấy không, việc nắm vững các công thức và hằng đẳng thức là rất quan trọng để giải quyết các bài toán như thế này.

Chúc các em học tốt!