Xin chào các em học sinh yêu quý của lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập chứng minh chia hết rất thú vị. Bài tập này đòi hỏi chúng ta phải áp dụng các kiến thức về hằng đẳng thức và quy tắc chia hết.

Chúng ta sẽ đi lần lượt từng câu một nhé.

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi n thuộc Z thì:
a) \( (n-3)^2 – (n-4)(n+4) – 1 \) chia hết cho 6
b) \( (n+2)^2 + 4(n-1)(n+1) + n \) chia hết cho 10

—

Câu a: Chứng minh \( (n-3)^2 – (n-4)(n+4) – 1 \) chia hết cho 6.

Các em thân mến, để chứng minh một biểu thức chia hết cho một số, cách phổ biến nhất là chúng ta sẽ biến đổi biểu thức đó về dạng một số nhân với số cần chia hết, hoặc chúng ta sẽ đi chứng minh biểu thức đó chia hết cho các thừa số nguyên tố của số đó. Ở đây, số 6 có các thừa số nguyên tố là 2 và 3. Tuy nhiên, cách đơn giản hơn là chúng ta hãy khai triển biểu thức này ra và xem nó có dạng như thế nào.

Chúng ta sẽ sử dụng các hằng đẳng thức đã học:
* Hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
* Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \)

Bây giờ, chúng ta cùng áp dụng vào biểu thức \( (n-3)^2 – (n-4)(n+4) – 1 \):

Bước 1: Khai triển \( (n-3)^2 \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) với \( a=n \) và \( b=3 \), ta có:
\( (n-3)^2 = n^2 – 2 \cdot n \cdot 3 + 3^2 = n^2 – 6n + 9 \)

Bước 2: Khai triển \( (n-4)(n+4) \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \) với \( a=n \) và \( b=4 \), ta có:
\( (n-4)(n+4) = n^2 – 4^2 = n^2 – 16 \)

Bước 3: Thay các kết quả đã khai triển vào biểu thức ban đầu.
Biểu thức ban đầu là: \( (n-3)^2 – (n-4)(n+4) – 1 \)
Thay vào, ta được: \( (n^2 – 6n + 9) – (n^2 – 16) – 1 \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức.
\( n^2 – 6n + 9 – n^2 + 16 – 1 \)
Nhóm các hạng tử giống nhau lại:
\( (n^2 – n^2) + (-6n) + (9 + 16 – 1) \)
\( 0 – 6n + 24 \)
\( -6n + 24 \)

Bước 5: Phân tích biểu thức đã rút gọn thành nhân tử để chứng minh chia hết cho 6.
Ta thấy rằng biểu thức \( -6n + 24 \) có thể đặt nhân tử chung là 6.
\( -6n + 24 = 6(-n + 4) \)

Vì \( n \) là số nguyên \( (\text{n} \in \mathbb{Z}) \), nên \( -n + 4 \) cũng là một số nguyên.
Do đó, \( 6(-n + 4) \) luôn chia hết cho 6.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( (n-3)^2 – (n-4)(n+4) – 1 \) chia hết cho 6 với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

—

Câu b: Chứng minh \( (n+2)^2 + 4(n-1)(n+1) + n \) chia hết cho 10.

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ khai triển biểu thức này ra và xem nó có dạng như thế nào nhé các em.

Chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng các hằng đẳng thức đã học:
* Hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
* Hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \)

Bây giờ, chúng ta cùng áp dụng vào biểu thức \( (n+2)^2 + 4(n-1)(n+1) + n \):

Bước 1: Khai triển \( (n+2)^2 \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) với \( a=n \) và \( b=2 \), ta có:
\( (n+2)^2 = n^2 + 2 \cdot n \cdot 2 + 2^2 = n^2 + 4n + 4 \)

Bước 2: Khai triển \( (n-1)(n+1) \).
Áp dụng hằng đẳng thức \( (a-b)(a+b) = a^2 – b^2 \) với \( a=n \) và \( b=1 \), ta có:
\( (n-1)(n+1) = n^2 – 1^2 = n^2 – 1 \)

Bước 3: Thay các kết quả đã khai triển vào biểu thức ban đầu.
Biểu thức ban đầu là: \( (n+2)^2 + 4(n-1)(n+1) + n \)
Thay vào, ta được: \( (n^2 + 4n + 4) + 4(n^2 – 1) + n \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức.
\( n^2 + 4n + 4 + 4n^2 – 4 + n \)
Nhóm các hạng tử giống nhau lại:
\( (n^2 + 4n^2) + (4n + n) + (4 – 4) \)
\( 5n^2 + 5n + 0 \)
\( 5n^2 + 5n \)

Bước 5: Phân tích biểu thức đã rút gọn thành nhân tử để chứng minh chia hết cho 10.
Ta thấy rằng biểu thức \( 5n^2 + 5n \) có thể đặt nhân tử chung là \( 5n \).
\( 5n^2 + 5n = 5n(n+1) \)

Bây giờ, chúng ta cần xem \( 5n(n+1) \) có chia hết cho 10 hay không.
Nhớ lại kiến thức về số chẵn và số lẻ, tích của hai số nguyên liên tiếp \( n(n+1) \) luôn là một số chẵn. Điều này có nghĩa là \( n(n+1) \) luôn chia hết cho 2.

Do đó, \( n(n+1) \) có thể viết dưới dạng \( 2k \) với \( k \) là một số nguyên nào đó.
Thay vào biểu thức \( 5n(n+1) \), ta được:
\( 5 \cdot (2k) = 10k \)

Vì \( k \) là một số nguyên, nên \( 10k \) luôn chia hết cho 10.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( (n+2)^2 + 4(n-1)(n+1) + n \) chia hết cho 10 với mọi \( n \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

—

Qua hai phần vừa rồi, các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và cách phân tích nhân tử, chúng ta có thể dễ dàng giải quyết các bài toán chứng minh chia hết này.

Các em hãy xem lại bài giải thật kỹ, nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé! Chúc các em học tốt!