chứng minh rằng với mọi n thuộc Z thì: a)(n-3)^2-(n-4)(n+4)-1 chia…
a)(n-3)^2-(n-4)(n+4)-1 chia hết cho 6
b)(n+2)^2+4(n-1)(n+1)+n chia hết cho 10
Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết dạng toán chứng minh chia hết bằng phương pháp biến đổi đại số. Đây là một dạng toán rất hay và thường gặp trong các bài kiểm tra. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!
Bài toán a): Chứng minh biểu thức đầu tiên luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
- Bước 1: Viết lại biểu thức cần khai triển là (n – 3) bình phương trừ đi tích của (n – 4) nhân (n + 4) rồi trừ đi 1.
- Bước 2: Khai triển từng thành phần của biểu thức.
- Khai triển hằng đẳng thức (n – 3) bình phương ta được: n bình phương trừ 6n cộng 9.
- Khai triển tích (n – 4)(n + 4) ta được: n bình phương trừ 16.
- Bước 3: Lắp các kết quả vừa khai triển vào biểu thức ban đầu. Lưu ý đằng sau dấu trừ có ngoặc nên ta phải đổi dấu. Biểu thức trở thành: (n bình phương trừ 6n cộng 9) trừ đi (n bình phương trừ 16) rồi trừ đi 1.
- Bước 4: Phá ngoặc và thu gọn biểu thức. Ta có: n bình phương trừ 6n cộng 9 trừ n bình phương cộng 16 trừ 1. Rút gọn n bình phương với trừ n bình phương hết, ta còn lại: trừ 6n cộng 24.
- Bước 5: Đặt nhân tử chung là số 6 ra ngoài, ta được: 6 nhân với mở ngoặc (4 trừ n) đóng ngoặc.
- Bước 6: Vì 6 chia hết cho 6 nên tích 6 nhân với (4 trừ n) luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. Bài toán được chứng minh xong.
Bài toán b): Chứng minh biểu thức thứ hai luôn chia hết cho 10 với mọi số nguyên n
- Bước 1: Phân tích cấu trúc biểu thức gồm tổng của (n + 2) bình phương cộng với 4 lần tích (n – 1) nhân (n + 1) rồi cộng thêm n.
- Bước 2: Tiến hành khai triển từng phần.
- Khai triển hằng đẳng thức (n + 2) bình phương ta được: n bình phương cộng 4n cộng 4.
- Khai triển tích (n – 1)(n + 1) ta được: n bình phương trừ 1. Sau đó nhân tiếp với 4 ở bên ngoài, ta được: 4n bình phương trừ 4.
- Bước 3: Thay các kết quả vừa khai triển vào biểu thức ban đầu. Ta có: (n bình phương cộng 4n cộng 4) cộng với (4n bình phương trừ 4) cộng thêm n.
- Bước 4: Thu gọn các hạng tử đồng dạng.
- Về bậc hai: n bình phương cộng 4n bình phương bằng 5n bình phương.
- Về bậc nhất: 4n cộng thêm n bằng 5n.
- Về số tự do: 4 trừ 4 bằng 0.
Biểu thức sau khi thu gọn là: 5n bình phương cộng 5n.
- Bước 5: Đặt nhân tử chung là 5n ra ngoài, ta được: 5n nhân với mở ngoặc (n cộng 1) đóng ngoặc.
- Bước 6: Quan sát biểu thức n nhân (n cộng 1), ta nhận thấy đây là tích của hai số nguyên liên tiếp. Trong hai số nguyên liên tiếp, chắc chắn sẽ có một số chẵn, tức là tích này luôn chia hết cho 2.
- Bước 7: Do đó, biểu thức 5n nhân (n cộng 1) sẽ bằng 5 nhân với một số chẵn, kết quả là một số chia hết cho 10 với mọi số nguyên n. Bài toán được chứng minh hoàn toàn.
Lời dặn dò của giáo viên: Để làm tốt các bài toán dạng này, các em cần thuộc nằm lòng các hằng đẳng thức đáng nhớ, cẩn thận khi phá ngoặc có dấu trừ đằng trước và nhớ các tính chất chia hết cơ bản. Chúc các em học tập thật tốt!
a)
\((n-3)^2-(n-4)(n+4)-1\)
\(=n^2-6n+9-(n^2-4^2)-1\)
\(=n^2-6n+9-n^2+16-1\)
\(=-6n+24\)
\(=-6(n-4) vdots 6\) (hiển nhiên)
\(=>\) với mọi \(n in ZZ\) thì \((n-3)^2-(n-4)(n+4)-1 vdots 6\)
b)
\((n+2)^2+4(n-1)(n+1)+n\)
\(=n^2+4n+4+4(n^2-1^2)+n\)
\(=n^2+5n+4+4n^2-4\)
\(=5n^2+5n\)
\(=5n*(n+1)\)
ta có \(n in ZZ=>n(n+1)\) là 2 số nguyên liên tiếp
suy ra \(n(n+1)vdots 2\)
\(=>5n(n+1) vdots (5*2)=10\)
vậy \((n+2)^2+4(n-1)(n+1)+n vdots 10 AA n in ZZ\)
\(a)\)
\((n-3)^2-(n-4)(n+4)-1\)
\(=n^2-6n+9-(n^2-16)-1\)
\(=n^2-6n+9-n^2+16-1\)
\(=-6n+24\)
\(=-6(n-4)\)
Vì \(6 \vdots 6=> -6(n-4) \vdots 6 AA n in ZZ(đpcm)\)
\(b)\)
\((n+2)^2+4(n-1)(n+1)+n\)
\(=n^2+4n+4+4(n^2-1)+n\)
\(=n^2+4n+4+4n^2-4+n\)
\(=5n^2+5n\)
\(=5n(n+1)\)
Ta có: \(n(n+1)\)
Vì \(n in ZZ=>n(n+1)\) là tích \(2\) số nguyên liên tiếp
\(=>n(n+1) \vdots 2\)
Mà \(5 \vdots 5=>5n(n+1) \vdots 10 AA n in ZZ (đpcm)\)
Trợ Lý Xưởng In Thiên Nam
Add comment