Chào các em học sinh lớp 7!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán chứng minh khá thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^3\) \(-\) \(n\) luôn chia hết cho \(6\).

Bắt đầu bài toán!

Chúng ta cần chứng minh \(n^3 – n\) chia hết cho \(6\). Để một số chia hết cho \(6\), thì số đó phải đồng thời chia hết cho \(2\) và chia hết cho \(3\) (vì \(6 = 2 \times 3\) và \(2\), \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau).

Chúng ta sẽ đi chứng minh từng phần:

Phần 1: Chứng minh \(n^3 – n\) chia hết cho \(2\).

Đầu tiên, chúng ta sẽ phân tích biểu thức \(n^3 – n\).

Ta có: \(n^3 – n = n(n^2 – 1)\)

Nhận thấy \(n^2 – 1\) là hiệu của hai bình phương, ta có thể phân tích tiếp:

\(n^2 – 1 = (n – 1)(n + 1)\)

Vậy, biểu thức ban đầu trở thành:

\(n^3 – n = n(n – 1)(n + 1)\)

Hay viết lại theo thứ tự tăng dần của các thừa số: \(n^3 – n = (n – 1)n(n + 1)\)

Bây giờ, chúng ta xét hai trường hợp cho \(n\):

Trường hợp 1: \(n\) là số chẵn.

Nếu \(n\) là số chẵn, thì \(n\) chia hết cho \(2\). Do đó, tích \((n – 1)n(n + 1)\) chắc chắn chia hết cho \(2\).

Trường hợp 2: \(n\) là số lẻ.

Nếu \(n\) là số lẻ, thì \((n – 1)\) và \((n + 1)\) là hai số chẵn liên tiếp. Một trong hai số chẵn này phải chia hết cho \(2\). Do đó, tích \((n – 1)n(n + 1)\) chắc chắn chia hết cho \(2\).

Như vậy, trong cả hai trường hợp, \((n – 1)n(n + 1)\) luôn chia hết cho \(2\). Điều này có nghĩa là \(n^3 – n\) luôn chia hết cho \(2\).

Phần 2: Chứng minh \(n^3 – n\) chia hết cho \(3\).

Chúng ta lại quay trở lại biểu thức đã phân tích: \(n^3 – n = (n – 1)n(n + 1)\).

Biểu thức này là tích của ba số nguyên liên tiếp: \(n – 1\), \(n\), và \(n + 1\).

Chúng ta xét các trường hợp cho \(n\) khi chia cho \(3\):

Trường hợp 1: \(n\) chia hết cho \(3\).

Nếu \(n\) chia hết cho \(3\), thì tích \((n – 1)n(n + 1)\) chắc chắn chia hết cho \(3\).

Trường hợp 2: \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\).

Nếu \(n\) chia cho \(3\) dư \(1\), tức là \(n = 3k + 1\) với \(k\) là số nguyên nào đó. Khi đó, \(n – 1 = (3k + 1) – 1 = 3k\). Như vậy, \(n – 1\) chia hết cho \(3\). Do đó, tích \((n – 1)n(n + 1)\) chắc chắn chia hết cho \(3\).

Trường hợp 3: \(n\) chia cho \(3\) dư \(2\).

Nếu \(n\) chia cho \(3\) dư \(2\), tức là \(n = 3k + 2\) với \(k\) là số nguyên nào đó. Khi đó, \(n + 1 = (3k + 2) + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)\). Như vậy, \(n + 1\) chia hết cho \(3\). Do đó, tích \((n – 1)n(n + 1)\) chắc chắn chia hết cho \(3\).

Như vậy, trong cả ba trường hợp, tích của ba số nguyên liên tiếp \((n – 1)n(n + 1)\) luôn chia hết cho \(3\). Điều này có nghĩa là \(n^3 – n\) luôn chia hết cho \(3\).

Kết luận cuối cùng

Chúng ta đã chứng minh được rằng:

1. \(n^3 – n\) luôn chia hết cho \(2\).

2. \(n^3 – n\) luôn chia hết cho \(3\).

Vì \(n^3 – n\) chia hết cho cả \(2\) và \(3\), mà \(2\) và \(3\) là hai số nguyên tố cùng nhau, nên \(n^3 – n\) phải chia hết cho tích của chúng, tức là chia hết cho \(2 \times 3 = 6\).

Vậy, với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^3 – n\) luôn chia hết cho \(6\).

Các em thấy không, chỉ cần phân tích biểu thức và xét các trường hợp của số nguyên, chúng ta đã hoàn thành bài toán. Hãy luyện tập thêm với các bài tương tự nhé!

Chúc các em học tốt!