Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tính chia hết. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^5 – n\) luôn chia hết cho \(30\).

Đây là một bài toán hay, giúp các em rèn luyện tư duy về số học. Để chứng minh một số chia hết cho \(30\), chúng ta cần chứng minh nó chia hết cho các thừa số nguyên tố của \(30\).

Các em nhớ rằng \(30 = 2 \times 3 \times 5\). Do \(2\), \(3\), \(5\) là các số nguyên tố cùng nhau (tức là không có ước chung nào khác \(1\)), nên nếu một số chia hết cho cả \(2\), \(3\) và \(5\) thì số đó sẽ chia hết cho \(30\).

Bây giờ, chúng ta hãy bắt đầu giải bài toán nhé!

Lời giải:

Bước 1: Phân tích biểu thức thành nhân tử

Đầu tiên, chúng ta hãy biến đổi biểu thức \(n^5 – n\):

\(n^5 – n = n(n^4 – 1)\)

Chúng ta thấy \(n^4 – 1\) là một dạng hiệu của hai bình phương: \((n^2)^2 – 1^2\). Vậy ta có thể phân tích tiếp:

\(n(n^4 – 1) = n(n^2 – 1)(n^2 + 1)\)

Lại có \(n^2 – 1\) cũng là hiệu của hai bình phương: \(n^2 – 1^2\). Phân tích tiếp:

\(n(n^2 – 1)(n^2 + 1) = n(n – 1)(n + 1)(n^2 + 1)\)

Để dễ nhìn, chúng ta sắp xếp lại các thừa số:

\(n^5 – n = (n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh biểu thức này chia hết cho \(2\), \(3\) và \(5\).

Bước 2: Chứng minh \(n^5 – n\) chia hết cho \(2\)

Chúng ta có tích \((n – 1)n(n + 1)\). Đây là tích của ba số nguyên liên tiếp.

Trong ba số nguyên liên tiếp, chắc chắn sẽ có ít nhất một số chẵn (chia hết cho \(2\)).

Ví dụ: nếu \(n\) là số chẵn, thì \(n\) chia hết cho \(2\). Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(n – 1\) và \(n + 1\) là hai số chẵn liên tiếp, do đó có một số chia hết cho \(2\).

Vậy, tích \((n – 1)n(n + 1)\) luôn chia hết cho \(2\).

Vì \((n – 1)n(n + 1)\) chia hết cho \(2\), nên toàn bộ biểu thức \((n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\) cũng chia hết cho \(2\).

Như vậy, \(n^5 – n\) chia hết cho \(2\).

Bước 3: Chứng minh \(n^5 – n\) chia hết cho \(3\)

Cũng từ tích \((n – 1)n(n + 1)\) là tích của ba số nguyên liên tiếp.

Trong ba số nguyên liên tiếp, chắc chắn sẽ có đúng một số chia hết cho \(3\).

Ví dụ: nếu \(n\) chia hết cho \(3\), thì tích chia hết cho \(3\). Nếu \(n\) không chia hết cho \(3\), thì \(n\) có thể có dạng \(3k + 1\) hoặc \(3k + 2\).

• Nếu \(n = 3k + 1\), thì \(n – 1 = 3k\), chia hết cho \(3\).
• Nếu \(n = 3k + 2\), thì \(n + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1)\), chia hết cho \(3\).

Vậy, tích \((n – 1)n(n + 1)\) luôn chia hết cho \(3\).

Vì \((n – 1)n(n + 1)\) chia hết cho \(3\), nên toàn bộ biểu thức \((n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\) cũng chia hết cho \(3\).

Như vậy, \(n^5 – n\) chia hết cho \(3\).

Bước 4: Chứng minh \(n^5 – n\) chia hết cho \(5\)

Để chứng minh \((n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\) chia hết cho \(5\), chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(n\) khi chia cho \(5\).

Mỗi số nguyên \(n\) khi chia cho \(5\) chỉ có thể có một trong các số dư là \(0, 1, 2, 3, 4\).

• Trường hợp 1: Nếu \(n\) chia hết cho \(5\).
  
  Khi đó, \(n\) là một thừa số của biểu thức \((n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\), nên cả biểu thức sẽ chia hết cho \(5\).
• Trường hợp 2: Nếu \(n\) chia cho \(5\) dư \(1\). (Tức là \(n = 5k + 1\))
  
  Khi đó, \(n – 1 = 5k + 1 – 1 = 5k\), chia hết cho \(5\). Vì \((n – 1)\) là một thừa số, nên cả biểu thức sẽ chia hết cho \(5\).
• Trường hợp 3: Nếu \(n\) chia cho \(5\) dư \(4\). (Tức là \(n = 5k + 4\), hay \(n = 5k’ – 1\))
  
  Khi đó, \(n + 1 = 5k + 4 + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)\), chia hết cho \(5\). Vì \((n + 1)\) là một thừa số, nên cả biểu thức sẽ chia hết cho \(5\).
• Trường hợp 4: Nếu \(n\) chia cho \(5\) dư \(2\). (Tức là \(n = 5k + 2\))
  
  Chúng ta xét thừa số \((n^2 + 1)\):
  
  \(n^2 + 1 = (5k + 2)^2 + 1\)
  
  \(= (25k^2 + 20k + 4) + 1\)
  
  \(= 25k^2 + 20k + 5\)
  
  \(= 5(5k^2 + 4k + 1)\)
  
  Số này chia hết cho \(5\). Vì \((n^2 + 1)\) là một thừa số, nên cả biểu thức sẽ chia hết cho \(5\).
• Trường hợp 5: Nếu \(n\) chia cho \(5\) dư \(3\). (Tức là \(n = 5k + 3\))
  
  Chúng ta xét thừa số \((n^2 + 1)\):
  
  \(n^2 + 1 = (5k + 3)^2 + 1\)
  
  \(= (25k^2 + 30k + 9) + 1\)
  
  \(= 25k^2 + 30k + 10\)
  
  \(= 5(5k^2 + 6k + 2)\)
  
  Số này chia hết cho \(5\). Vì \((n^2 + 1)\) là một thừa số, nên cả biểu thức sẽ chia hết cho \(5\).

Trong tất cả các trường hợp có thể của \(n\), biểu thức \((n – 1)n(n + 1)(n^2 + 1)\) luôn có ít nhất một thừa số chia hết cho \(5\).

Như vậy, \(n^5 – n\) chia hết cho \(5\).

Bước 5: Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \(n^5 – n\) đồng thời:

• Chia hết cho \(2\)
• Chia hết cho \(3\)
• Chia hết cho \(5\)

Vì \(2\), \(3\), \(5\) là các số nguyên tố cùng nhau, nên nếu một số chia hết cho cả ba số này thì nó sẽ chia hết cho tích của chúng, tức là \(2 \times 3 \times 5 = 30\).

Vậy, \(n^5 – n\) chia hết cho \(30\) với mọi số nguyên \(n\).

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng bước, sử dụng các kiến thức về tính chia hết và phân tích nhân tử đã học, thì mọi thứ trở nên rõ ràng hơn rất nhiều. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững các dạng bài này nhé!