Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh:

\( x^3 – y^3 = ( x – y )^3 + 3xy( x – y ) \)

Để chứng minh một đẳng thức, chúng ta có thể đi từ một vế và biến đổi để thu được vế còn lại. Thông thường, chúng ta sẽ chọn vế nào “phức tạp” hơn để biến đổi. Trong bài này, chúng ta sẽ đi từ vế phải.

Bước 1: Biến đổi vế phải
Vế phải của chúng ta là: \( ( x – y )^3 + 3xy( x – y ) \)

Chúng ta sẽ khai triển hằng đẳng thức \( (a-b)^3 \) với \( a=x \) và \( b=y \).
Công thức khai triển lập phương của một hiệu là: \( (a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \)

Áp dụng vào biểu thức của chúng ta:
\( ( x – y )^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 \)

Bây giờ, chúng ta thay biểu thức đã khai triển này vào vế phải ban đầu:
Vế phải = \( (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) + 3xy( x – y ) \)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhân phân phối \( 3xy \) vào biểu thức \( (x – y) \):
\( 3xy( x – y ) = 3xy \times x – 3xy \times y = 3x^2y – 3xy^2 \)

Bây giờ, chúng ta lại thay kết quả này vào biểu thức của vế phải:
Vế phải = \( (x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3) + (3x^2y – 3xy^2) \)

Bước 2: Rút gọn biểu thức
Bây giờ chúng ta tiến hành nhóm các hạng tử đồng dạng và rút gọn:
Vế phải = \( x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3 + 3x^2y – 3xy^2 \)

Ta thấy có các cặp hạng tử đối nhau:
– \( -3x^2y \) và \( +3x^2y \). Khi cộng lại bằng 0.
– \( +3xy^2 \) và \( -3xy^2 \). Khi cộng lại bằng 0.

Vậy, sau khi rút gọn, vế phải chỉ còn lại:
Vế phải = \( x^3 – y^3 \)

Bước 3: Kết luận
Chúng ta đã biến đổi vế phải và thu được \( x^3 – y^3 \), đây chính là vế trái của đẳng thức cần chứng minh.
Do đó, chúng ta đã chứng minh được:

\( x^3 – y^3 = ( x – y )^3 + 3xy( x – y ) \)

Các em thấy đó, việc chứng minh một đẳng thức thường bắt đầu từ việc khai triển hoặc rút gọn một vế cho đến khi nó bằng vế còn lại. Các em hãy luyện tập thêm các bài tập tương tự để nắm vững hơn nhé!

Chúc các em học tốt!