Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi sâu vào phần chuyển động thẳng biến đổi đều, một trong những kiến thức nền tảng quan trọng của môn Vật lý. Chúng ta sẽ chứng minh hai công thức rất quen thuộc và thường xuyên được sử dụng trong các bài toán.

Các công thức này chỉ áp dụng cho chuyển động thẳng biến đổi đều (nghĩa là gia tốc \(a\) là hằng số và vận tốc ban đầu, vận tốc cuối, quãng đường, thời gian đều nằm trên một đường thẳng).

Để bắt đầu, chúng ta cần nhớ lại một số công thức cơ bản:

1. Công thức tính vận tốc theo thời gian:

$$V\; =\; V\_0\; +\; at$$

Trong đó:

• \(V\) là vận tốc tại thời điểm \(t\) (vận tốc cuối).
• \(V_0\) là vận tốc ban đầu (tại \(t=0\)).
• \(a\) là gia tốc của chuyển động.
• \(t\) là khoảng thời gian chuyển động.

2. Công thức tính vận tốc trung bình:

$$V\_\{tb\}\; =\; \backslash frac\{S\}\{t\}$$

Và đối với chuyển động thẳng biến đổi đều, vận tốc trung bình cũng có thể được tính bằng:

$$V\_\{tb\}\; =\; \backslash frac\{V\_0\; +\; V\}\{2\}$$

—

Phần 1: Chứng minh công thức quãng đường \(S=V_0t+1/2at^2\)

Đây là công thức dùng để tính quãng đường đi được (hay độ dịch chuyển) của vật trong chuyển động thẳng biến đổi đều.

Chúng ta sẽ chứng minh công thức này bằng cách sử dụng công thức vận tốc trung bình và công thức vận tốc theo thời gian.

Bước 1: Xuất phát từ công thức vận tốc trung bình

Ta có công thức tính quãng đường \(S\) thông qua vận tốc trung bình \(V_{tb}\) và thời gian \(t\):

$$S\; =\; V\_\{tb\}\; \backslash cdot\; t$$

Bước 2: Thay thế vận tốc trung bình cho chuyển động thẳng biến đổi đều

Đối với chuyển động thẳng biến đổi đều, vận tốc trung bình được tính bằng trung bình cộng của vận tốc đầu và vận tốc cuối:

$$V\_\{tb\}\; =\; \backslash frac\{V\_0\; +\; V\}\{2\}$$

Thay biểu thức này vào công thức quãng đường ở Bước 1:

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\_0\; +\; V\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t\; \backslash quad\; (1)$$

Bước 3: Thay thế vận tốc cuối \(V\) bằng công thức \(V=V_0+at\)

Chúng ta biết rằng \(V = V_0 + at\). Hãy thay biểu thức này vào công thức (1):

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\_0\; +\; (V\_0\; +\; at)\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t$$

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các phép tính đại số để rút gọn:

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{2V\_0\; +\; at\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t$$

Tách phân số ra:

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{2V\_0\}\{2\}\; +\; \backslash frac\{at\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t$$

$$S\; =\; \backslash left(\; V\_0\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}at\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t$$

Cuối cùng, nhân \(t\) vào trong ngoặc:

$$S\; =\; V\_0t\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}at^2$$

Vậy là chúng ta đã chứng minh được công thức đầu tiên!

—

Phần 2: Chứng minh công thức quãng đường \(S=(V^2-V_0^2)/(2a)\)

Công thức này rất hữu ích khi chúng ta không biết thời gian \(t\) nhưng lại biết vận tốc ban đầu, vận tốc cuối và gia tốc.

Lưu ý: Công thức chính xác là \(S=(V^2-V_0^2)/(2a)\), không phải \(S=(V-V_0^2)/(2a)\) như đề bài có thể gõ nhầm. Chúng ta sẽ chứng minh công thức đúng.

Để chứng minh công thức này, chúng ta sẽ sử dụng công thức vận tốc theo thời gian và một trong các công thức tính quãng đường đã có, sau đó loại bỏ biến \(t\).

Bước 1: Bắt đầu từ công thức vận tốc theo thời gian để tìm \(t\)

Chúng ta có công thức:

$$V\; =\; V\_0\; +\; at$$

Từ công thức này, ta có thể rút ra biểu thức của thời gian \(t\):

$$V\; –\; V\_0\; =\; at$$

$$t\; =\; \backslash frac\{V\; –\; V\_0\}\{a\}\; \backslash quad\; (2)$$

Bước 2: Sử dụng công thức quãng đường với vận tốc trung bình

Chúng ta đã biết công thức:

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\_0\; +\; V\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; t\; \backslash quad\; (1)$$

Bước 3: Thay thế \(t\) từ Bước 1 vào công thức (1)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(t\) từ công thức (2) vào công thức (1):

$$S\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\_0\; +\; V\}\{2\}\; \backslash right)\; \backslash cdot\; \backslash left(\; \backslash frac\{V\; –\; V\_0\}\{a\}\; \backslash right)$$

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Nhân hai phân số lại với nhau:

$$S\; =\; \backslash frac\{(V\_0\; +\; V)(V\; –\; V\_0)\}\{2a\}$$

Ở tử số, chúng ta nhận thấy đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ: \((x+y)(x-y) = x^2 – y^2\). Áp dụng hằng đẳng thức này với \(x=V\) và \(y=V_0\):

$$S\; =\; \backslash frac\{V^2\; –\; V\_0^2\}\{2a\}$$

Hoặc, chúng ta có thể viết lại nó dưới dạng:

$$2aS\; =\; V^2\; –\; V\_0^2$$

Vậy là chúng ta đã chứng minh được công thức thứ hai!

—

Tóm tắt các công thức quan trọng trong chuyển động thẳng biến đổi đều:

1. Vận tốc: \(V = V_0 + at\)

2. Quãng đường: \(S = V_0t + \frac{1}{2}at^2\)

3. Quãng đường (không phụ thuộc thời gian): \(S = \frac{V^2 – V_0^2}{2a}\) (hoặc \(V^2 – V_0^2 = 2aS\))

Các em hãy nắm vững cách chứng minh và ý nghĩa của từng công thức này nhé. Việc hiểu rõ nguồn gốc sẽ giúp chúng ta vận dụng chúng một cách linh hoạt và tự tin hơn trong các bài tập Vật lý!

Chúc các em học tốt!