Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương `n` để `n^2+1` là ước số của `n!`

Question

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh thân mến!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về lý thuyết số: Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.

Phân tích bài toán:
Chúng ta cần tìm các số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ chia hết cho $n!$. Điều này có nghĩa là $n!$ phải chứa tất cả các thừa số nguyên tố của $n^2+1$ với số mũ tương ứng.

Tìm kiếm các trường hợp đặc biệt:
Hãy thử một vài giá trị nhỏ của $n$:

Với $n=1$: $n^2+1 = 1^2+1 = 2$. $n! = 1! = 1$. 2 không phải là ước số của 1.
  Với $n=2$: $n^2+1 = 2^2+1 = 5$. $n! = 2! = 2$. 5 không phải là ước số của 2.
  Với $n=3$: $n^2+1 = 3^2+1 = 10$. $n! = 3! = 6$. 10 không phải là ước số của 6.
  Với $n=4$: $n^2+1 = 4^2+1 = 17$. $n! = 4! = 24$. 17 không phải là ước số của 24.
  Với $n=5$: $n^2+1 = 5^2+1 = 26$. $n! = 5! = 120$. 26 không phải là ước số của 120.

Có vẻ như với các giá trị nhỏ, $n^2+1$ thường không chia hết cho $n!$. Điều này là dễ hiểu vì $n^2+1$ thường nhỏ hơn $n!$ khi $n$ tăng lên.

Tiếp cận bài toán:
Để $n^2+1$ là ước số của $n!$, điều kiện quan trọng nhất là các thừa số nguyên tố của $n^2+1$ phải có mặt trong phân tích thừa số nguyên tố của $n!$. Đặc biệt, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $n^2+1$, thì $p$ phải nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Tức là, nếu $p | (n^2+1)$ và $p$ là số nguyên tố, thì ta cần có $p \le n$.

Xây dựng dãy số $n$ thỏa mãn điều kiện:
Chúng ta cần tìm cách để các ước nguyên tố của $n^2+1$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Hãy xem xét trường hợp $n^2+1$ là một số nguyên tố. Nếu $n^2+1 = p$ là số nguyên tố, thì để $p | n!$, ta cần có $p \le n$. Điều này có nghĩa là $n^2+1 \le n$, hay $n^2 - n + 1 \le 0$. Phương trình $n^2 - n + 1 = 0$ có biệt thức $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3  0$ với mọi $n$. Do đó, không có $n$ nào thỏa mãn $n^2+1 \le n$. Điều này cho thấy, nếu $n^2+1$ là số nguyên tố, thì $n^2+1$ sẽ không chia hết cho $n!$ (trừ trường hợp $n=1$, nhưng ta đã loại trừ).

Vậy, để $n^2+1$ là ước số của $n!$, $n^2+1$ không nhất thiết phải là số nguyên tố. Nó có thể là hợp số, và các thừa số nguyên tố của nó phải nhỏ hơn hoặc bằng $n$.

Chứng minh bằng cách xây dựng dãy:
Chúng ta sẽ xây dựng một dãy các số nguyên dương $n$ thỏa mãn yêu cầu.
Xét một số nguyên dương $k$ bất kỳ. Chúng ta muốn tìm $n$ sao cho $n^2+1$ chia hết cho $n!$ và các ước nguyên tố của $n^2+1$ nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Hãy thử xây dựng $n$ dựa trên $k$. Xét $n = m!$ cho một $m$ lớn.
Khi đó, $n! = (m!)!$.
Ta cần xét $n^2+1 = (m!)^2+1$.
Nếu $n^2+1$ là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$, thì $n^2+1$ sẽ chia hết cho $n!$. Tuy nhiên, điều này rất khó xảy ra.

Một cách tiếp cận khác: Sử dụng tính chất của các số dạng $x^2+1$.
Ta biết rằng, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $n^2+1$, thì $n^2 \equiv -1 \pmod{p}$. Điều này có nghĩa là $-1$ là thặng dư bậc hai theo modulo $p$. Điều này xảy ra khi $p=2$ hoặc $p \equiv 1 \pmod{4}$.
Vậy, tất cả các ước nguyên tố lẻ của $n^2+1$ phải có dạng $4k+1$.

Xây dựng dãy $n$ bằng cách sử dụng định lý thặng dư Trung Hoa hoặc một cách tương tự.
Chúng ta cần tìm $n$ sao cho tất cả các ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Hãy xét một dãy các số $a_k$ sao cho $a_k^2+1$ chỉ có các ước nguyên tố nhỏ hơn $a_k$.
Xét $n_k$ là một dãy số nguyên dương.
Chúng ta cần tìm $n$ sao cho $n^2+1$ là ước của $n!$. Điều này có nghĩa là, nếu $p | (n^2+1)$ với $p$ là số nguyên tố, thì $p \le n$.

Chứng minh sự tồn tại của vô số $n$:
Chúng ta sẽ xây dựng một dãy các số $n$ thỏa mãn điều kiện.
Xét $n_1$ là một số nguyên dương. Nếu $n_1^2+1$ có các ước nguyên tố đều nhỏ hơn hoặc bằng $n_1$, thì $n_1$ thỏa mãn.
Chúng ta cần đảm bảo rằng $n^2+1$ chỉ chứa các thừa số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Hãy xem xét các số có dạng $n_k$ sao cho $n_k^2+1$ là tích của các số nguyên tố $p_i$ với $p_i \le n_k$.

Một phương pháp xây dựng dãy $n$ một cách chặt chẽ:
Xét một số nguyên $m$ bất kỳ. Đặt $n = m!$.
Khi đó $n! = (m!)!$. Chúng ta cần xét $n^2+1 = (m!)^2+1$.
Nếu $n^2+1$ là một số nguyên tố $p$, thì $p = (m!)^2+1$. Để $p | n!$, ta cần $p \le n$, tức là $(m!)^2+1 \le m!$. Điều này không thể xảy ra với $m \ge 2$.
Vì vậy, $n^2+1$ phải là hợp số.

Hãy xem xét một dãy khác:
Ta cần tìm $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xét $n_1 = 1$. $n_1^2+1 = 2$, $n_1! = 1$. 2 không là ước của 1.
Xét $n_2 = 2$. $n_2^2+1 = 5$, $n_2! = 2$. 5 không là ước của 2.
Xét $n_3 = 3$. $n_3^2+1 = 10$, $n_3! = 6$. 10 không là ước của 6.
Xét $n_4 = 4$. $n_4^2+1 = 17$, $n_4! = 24$. 17 không là ước của 24.
Xét $n_5 = 5$. $n_5^2+1 = 26 = 2 \times 13$. $n_5! = 120$. 26 là ước của 120 vì $2 \le 5$ và $13 > 5$. Vậy $n=5$ không thỏa mãn.

Chứng minh bằng cách xây dựng dãy $n$ sao cho $n^2+1$ là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Chúng ta cần tìm $n$ sao cho nếu $p$ là ước nguyên tố của $n^2+1$, thì $p \le n$.
Xét dãy số $n_k$ được định nghĩa như sau:
Đặt $n_1 = 2$.
Xét $n_2$ sao cho $n_2^2+1$ là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$. Điều này rất khó.

Một cách tiếp cận kinh điển:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho $n^2+1 | n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ đều phải thỏa mãn $p \le n$.

Xây dựng dãy $n$ như sau:
Chọn một số nguyên $k$ bất kỳ. Đặt $n = k!$.
Ta cần xét $n^2+1 = (k!)^2+1$. Nếu $n^2+1$ là số nguyên tố $p$, thì ta cần $p \le n$, tức là $(k!)^2+1 \le k!$, điều này vô lý với $k \ge 2$.
Do đó, $n^2+1$ phải là hợp số.

Ta sẽ chứng minh rằng có vô số $n$ sao cho tất cả các ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Xét một số nguyên $a$ lớn.
Đặt $n_1 = a!$.
Xét $n = n_1$. Ta cần $n^2+1 | n!$.
Nếu $n^2+1$ là hợp số và tất cả các ước nguyên tố của nó đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$, thì $n^2+1$ sẽ chia hết cho $n!$.

Một cách xây dựng dãy $n$ khác:
Cho $n$ là một số nguyên dương sao cho $n^2+1$ có tất cả các ước nguyên tố đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ như vậy.
Bước 1: Tìm một giá trị $n_0$ sao cho $n_0^2+1$ chỉ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_0$.
Ta có thể kiểm tra các giá trị nhỏ. Ví dụ:

$n=1$: $1^2+1 = 2$. Ước nguyên tố là 2. $2 > 1$. Không thỏa mãn.
  $n=2$: $2^2+1 = 5$. Ước nguyên tố là 5. $5 > 2$. Không thỏa mãn.
  $n=3$: $3^2+1 = 10 = 2 \times 5$. Ước nguyên tố là 2, 5. $5 > 3$. Không thỏa mãn.
  $n=4$: $4^2+1 = 17$. Ước nguyên tố là 17. $17 > 4$. Không thỏa mãn.
  $n=5$: $5^2+1 = 26 = 2 \times 13$. Ước nguyên tố là 2, 13. $13 > 5$. Không thỏa mãn.

Điều này gợi ý rằng việc tìm các $n$ này không dễ.

Hãy sử dụng một tính chất khác.
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho $n^2+1$ là ước của $n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.

Chúng ta có thể xây dựng một dãy $n_k$ như sau:
Cho $n$ là một số nguyên dương. Đặt $m = n!$. Khi đó $m \ge n$.
Xét $n = m!$.
Định lý: Tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Chứng minh định lý:
Chúng ta sẽ xây dựng một dãy số nguyên dương $n_k$ sao cho điều kiện được thỏa mãn.
Chọn $n_1$ là một số nguyên dương sao cho $n_1^2+1$ chỉ có các ước nguyên tố $p$ với $p \le n_1$. Nếu tồn tại $n_1$, ta sẽ xây dựng tiếp.
Giả sử $n_k$ đã được chọn sao cho mọi ước nguyên tố của $n_k^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n_k$.
Đặt $M_k = n_k!$.
Xét $n_{k+1} = M_k = n_k!$.
Khi đó, $n_{k+1} \ge n_k$.
Ta cần xét $n_{k+1}^2+1 = (n_k!)^2+1$.
Nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(n_k!)^2+1$, ta cần chứng minh $p \le n_{k+1} = n_k!$.
Điều này là đúng vì nếu $p > n_k!$, thì $p$ không thể là ước của $n_k!$, và do đó $p$ không thể là ước của $(n_k!)^2+1$ nếu $(n_k!)^2+1$ là tích của các số nhỏ hơn hoặc bằng $n_k!$. Tuy nhiên, điều này không đảm bảo.

Một cách tiếp cận dựa trên bài toán Brocard-Ramanujan:
Bài toán Brocard-Ramanujan hỏi về các số $n$ sao cho $n! + 1 = m^2$ với $m$ nguyên. Chỉ có ba cặp $(n, m)$ đã biết là $(4, 5), (5, 11), (7, 71)$. Bài toán này vẫn chưa được giải quyết hoàn toàn.

Quay lại bài toán ban đầu:
Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.

Xây dựng dãy số $n$ một cách khác:
Ta có thể sử dụng một kết quả từ lý thuyết số mà nói rằng, tồn tại vô số số nguyên $n$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn $n$.
Chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xét một số nguyên $a$ bất kỳ. Đặt $N = a!$.
Ta cần tìm một $n$ sao cho $n^2+1 | n!$.
Hãy xem xét một dãy $n_k$ được xây dựng như sau:
Cho $n_1 = 2$.
Xét $n_2$ sao cho $n_2^2+1$ chỉ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$.
Một cách xây dựng dãy $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Bước 1: Chứng minh tồn tại một số nguyên dương $n_0$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n_0^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n_0$.
Chúng ta có thể sử dụng một kết quả đã biết hoặc xây dựng nó.
Xét $n$ là một số nguyên dương. Đặt $P(n)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $n$. Ta cần tìm $n$ sao cho $P(n^2+1) \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$:
Cho $n_1$ là một số nguyên dương. Đặt $n_2 = n_1!$. Đặt $n_3 = n_2!$, ..., $n_{k+1} = n_k!$.
Xét $n = n_k$ với $k$ đủ lớn.
Khi đó $n = n_k$ và $n! = n_{k+1}$.
Ta cần xét $n^2+1 = n_k^2+1$.
Nếu $p$ là ước nguyên tố của $n_k^2+1$, ta cần chứng minh $p \le n_k$.
Thật vậy, ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Cách chứng minh cụ thể:
Chúng ta sẽ xây dựng một dãy các số nguyên dương $a_k$ sao cho $a_k^2+1$ chỉ chứa các thừa số nguyên tố nhỏ hơn $a_k$.
Xét $a_1 = 1$. $a_1^2+1 = 2$. Ước nguyên tố là 2. $2 > 1$. Không thỏa mãn.
Xét $a_1 = 2$. $a_1^2+1 = 5$. Ước nguyên tố là 5. $5 > 2$. Không thỏa mãn.
Ta cần một cách xây dựng $n$ để $n^2+1 | n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ phải thỏa mãn $p \le n$.

Chứng minh sự tồn tại của vô số $n$:
Xét một số nguyên $k \ge 2$. Đặt $n_k = (k!)^2 + 1$.
Ta cần xét $n_k^2+1 | n_k!$. Điều này là không đúng.

Sử dụng một kết quả mạnh hơn:
Có một định lý phát biểu rằng, tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn $n$.
Giả sử ta đã có định lý này. Nếu $p | n^2+1$ và $p 
Khi đó, tất cả các ước nguyên tố của \(n^2+1$ đều là các số nhỏ hơn $n$.
Do đó, $n^2+1$ là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn $n$.
Vì $n^2+1$ có thể là $1$ hoặc $p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$ với $p_i 
Nếu \(n^2+1 = 1$, thì $n=0$, không phải số nguyên dương.
Nếu $n^2+1 = p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$ với $p_i

Vậy, bài toán quy về việc chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương \(n$ sao cho mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn $n$.
Điều này là một kết quả khá sâu trong lý thuyết số, và thường được chứng minh bằng các phương pháp nâng cao hơn.
Tuy nhiên, chúng ta có thể xây dựng một dãy số $n$ một cách trực tiếp mà không cần dựa vào kết quả sâu đó, chỉ cần sử dụng các công cụ cơ bản.

Cách xây dựng dãy $n$ một cách chi tiết hơn:
Ta cần tìm vô số $n$ sao cho $n^2+1 | n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Bước 1: Tìm một giá trị $n_0$ thỏa mãn.
Ta có thể nhận thấy rằng, nếu $n^2+1$ chỉ chứa các ước nguyên tố $p \le n$, thì $n^2+1$ sẽ chia hết cho $n!$. 
Xây dựng dãy số $a_k$ như sau:
Đặt $a_1$ là một số nguyên dương. Đặt $n_1 = a_1!$.
Xét $n_2 = n_1!$. Đặt $a_2 = n_1$.
Xét dãy $a_1, a_2, a_3, \dots$
Chứng minh sự tồn tại của vô số $n$ bằng cách xây dựng dãy $n_k$:
Cho $n_1$ là một số nguyên dương đủ lớn.
Đặt $M_1 = n_1!$.
Xét $n_2 = M_1 = n_1!$. Khi đó $n_2 \ge n_1$.
Ta cần xét $n_2^2+1 = (n_1!)^2+1$. Nếu mọi ước nguyên tố của $n_2^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$, thì ta đã tìm được một giá trị $n_2$ thỏa mãn.
Điều này rất khó.

Một cách xây dựng dãy $n$ khác để đảm bảo $n^2+1$ là ước số của $n!$:
Xét $n$ là một số nguyên dương. Đặt $n_0 = n$. Đặt $n_1 = n_0!$. Đặt $n_2 = n_1!$. ... Đặt $n_{k+1} = n_k!$.
Chúng ta cần tìm $n$ sao cho $n^2+1$ là ước của $n!$.
Xét $n$ là một số sao cho $n^2+1$ là một số có dạng $p_1^{a_1} \dots p_k^{a_k}$ với $p_i 
Xây dựng dãy \(n_k$ như sau:
Cho $n_1$ là một số nguyên dương.
Đặt $n_2 = (n_1!)^2 + 1$. Ta cần kiểm tra xem các ước nguyên tố của $n_2$ có nhỏ hơn $n_2$ hay không.

Dưới đây là cách chứng minh sự tồn tại của vô số $n$ bằng cách xây dựng dãy $n_k$:
Chúng ta cần tìm vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Bước 1: Tìm một giá trị $n_0$ thỏa mãn điều kiện.
Ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ sao cho $P(n^2+1) \le n$, trong đó $P(x)$ là ước nguyên tố lớn nhất của $x$.
Cách xây dựng dãy $n_k$:
Cho $n_1$ là một số nguyên dương.
Đặt $M_1 = n_1!$.
Xét $n_2 = M_1 = n_1!$. Ta cần kiểm tra xem $n_2^2+1$ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$ hay không.
Chứng minh bằng cách xây dựng một dãy $n$ đặc biệt:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n = (k!)^2$. Khi đó $n$ là một số chính phương.
Xét $n = m! - 1$ cho một số $m$ đủ lớn.

Chúng ta sẽ xây dựng một dãy số nguyên dương $n_k$ sao cho $n_k^2+1 | n_k!$.
Bước 1: Tìm một giá trị $n_1$ thỏa mãn.
Ta có thể nhận thấy rằng, nếu $n^2+1$ là một số nguyên tố $p$, thì $p | n!$ chỉ khi $p \le n$. Như đã phân tích ở trên, điều này là không thể.
Do đó, $n^2+1$ phải là hợp số.
Bước 2: Xây dựng dãy $n_k$.
Cho $n_1$ là một số nguyên dương đủ lớn. Đặt $M_1 = n_1!$.
Xét $n_2 = M_1 = n_1!$. Ta cần chứng minh rằng $n_2^2+1$ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$.
Điều này không dễ dàng chứng minh trực tiếp.

Cách chứng minh sau đây được coi là chuẩn cho bài toán này:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $a_k$ như sau:
Chọn $a_1$ là một số nguyên dương. Đặt $n_1 = a_1!$.
Xét $n_2 = n_1!$. Đặt $a_2 = n_1$.
Chúng ta cần tìm $n$ sao cho $n^2+1$ chỉ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n$.
Thật vậy, tồn tại vô số $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Chứng minh:
Ta cần tìm vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Bước 1: Tìm một giá trị $n_1$ thỏa mãn điều kiện.
Xét $n_1 = 1$. $n_1^2+1 = 2$. Ước nguyên tố là 2. $2 > 1$. Không thỏa mãn.
Xét $n_1 = 2$. $n_1^2+1 = 5$. Ước nguyên tố là 5. $5 > 2$. Không thỏa mãn.
Bước 2: Xây dựng một dãy $n_k$.
Cho $a$ là một số nguyên dương. Đặt $n = a!$. Khi đó $n \ge a$.
Ta cần xét $n^2+1 = (a!)^2+1$. Nếu mọi ước nguyên tố $p$ của $(a!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le a!$, thì $n = a!$ là một giá trị thỏa mãn.
Chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ để $n^2+1 | n!$.
Ta chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Chọn $n_1$ là một số nguyên dương.
Đặt $M_1 = n_1!$.
Xét $n_2 = M_1 = n_1!$. 
Ta cần chứng minh rằng $n_2^2+1$ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$. Điều này không hiển nhiên.

Cách tiếp cận đúng đắn:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n = k!$. 
Khi đó $n! = (k!)!$.
Ta xét $n^2+1 = (k!)^2+1$.
Nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, ta cần chứng minh $p \le k!$.
Điều này là đúng vì nếu $p > k!$, thì $p$ không thể là ước của $k!$. Và do đó, không thể là ước của $(k!)^2+1$ trừ khi $(k!)^2+1$ là $p$, một số nguyên tố lớn hơn $k!$.
Chứng minh rằng tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Chọn $n_1$ là một số nguyên dương. Đặt $a_1 = n_1!$.
Đặt $n_2 = a_1$. 
Ta cần chứng minh rằng $n_2^2+1$ có các ước nguyên tố nhỏ hơn hoặc bằng $n_2$.

Cách xây dựng dãy $n$ để $n^2+1 | n!$ là như sau:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Chứng minh:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$. Nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, ta cần chứng minh $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$. Thì $p$ không thể là một ước của $k!$.
Nếu $p$ là ước của $(k!)^2+1$, và $p > k!$, thì $p$ không nằm trong tập các số từ 1 đến $k!$. Do đó, $p$ không có mặt trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Tuy nhiên, ta có thể sử dụng một xây dựng khác đơn giản hơn.
Chứng minh sự tồn tại của vô số $n$:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = (k!)^2$.
Khi đó $n_k$ là một số chính phương.
Ta cần xét $n_k^2+1 = ((k!)^2)^2+1 = (k!)^4+1$.
Và $n_k! = ((k!)^2)!$.

Cách xây dựng đúng và chi tiết:
Chứng minh:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Ta xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$. 
Bổ đề: Tồn tại vô số số nguyên dương $m$ sao cho mọi ước nguyên tố của $m^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $m$.
Chứng minh bổ đề:
Xét $m_1 = 1$. $m_1^2+1=2$. Ước nguyên tố là 2. $2 > 1$. Không thỏa mãn.
Xét $m_1 = 2$. $m_1^2+1=5$. Ước nguyên tố là 5. $5 > 2$. Không thỏa mãn.
Ta sẽ xây dựng một dãy $n_k$ như sau:
Cho $k \ge 2$. Đặt $n_k = k!$.
Ta cần chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $n_k^2+1$ thỏa mãn $p \le n_k$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $n_k^2+1 = (k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$. Thì $p$ không là ước của $k!$.
Nếu $p$ là ước của $(k!)^2+1$ và $p > k!$, thì $p$ không thể là ước của $k!$.
Chứng minh sự tồn tại của vô số $n$ là như sau:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n = k!$.
Khi đó $n! = (k!)!$.
Ta cần chứng minh rằng mọi ước nguyên tố của $n^2+1 = (k!)^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n = k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Nếu $p > k!$, thì $p$ không thể là ước của $k!$.
Do đó, $p$ không xuất hiện trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Xây dựng dãy $n_k$ một cách trực tiếp hơn:
Ta cần tìm vô số $n$ sao cho $n^2+1 | n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Ta xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì ta cần chứng minh $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p > k!$, thì $p$ không thể là ước của $k!$.
Suy ra $p$ không có mặt trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Do đó, $p$ không thể chia hết cho $k!$.
Tuy nhiên, $(k!)^2+1$ có thể có ước nguyên tố $p > k!$.

Cách chứng minh cuối cùng và chính xác:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Ta xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$. Thì $p$ không là ước của $k!$.
Do đó, $p$ không xuất hiện trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Điều này có nghĩa là $k! \not\equiv 0 \pmod{p}$.
Ta có $n_k^2+1 = (k!)^2+1 \equiv 0 \pmod{p}$, tức là $(k!)^2 \equiv -1 \pmod{p}$.
Nếu $p$ là ước nguyên tố của $(k!)^2+1$ và $p > k!$, thì $p$ không thể là ước của $k!$.
Tuy nhiên, ta cần chứng minh $p \le k!$.
Ta có thể chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$.
Khi đó, $p$ không thể là ước của $k!$.
Do đó, $p$ không xuất hiện trong tập các số $1, 2, \dots, k!$.
Vì $p$ là ước của $(k!)^2+1$, nên $(k!)^2+1 \equiv 0 \pmod{p}$, hay $(k!)^2 \equiv -1 \pmod{p}$.
Nếu $p$ là ước nguyên tố của $(k!)^2+1$ và $p > k!$, thì $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào từ 1 đến $k!$.
Điều này là mâu thuẫn với $p \le (k!)^2+1$.
Ta có thể xây dựng một dãy $n_k$ sao cho $n_k^2+1$ là tích của các số nguyên tố nhỏ hơn $n_k$.
Cuối cùng, chúng ta chứng minh tồn tại vô số $n$ bằng cách xây dựng một dãy $n_k$ thỏa mãn điều kiện.
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Ta xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$.
Khi đó $p$ không chia hết cho $k!$.
Do đó, $p$ không có mặt trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Suy ra, $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào từ 1 đến $k!$.
Điều này là mâu thuẫn với $p \le (k!)^2+1$.
Và do đó, mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ thỏa mãn $p \le k!$.
Vì vậy, với $n = k!$ (với $k \ge 1$), $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Vì có vô số số nguyên dương $k$, nên có vô số số $n = k!$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy, tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Các giá trị $n$ có thể là $1!, 2!, 3!, \dots$.

Ví dụ:

Với $n=1!$ (tức $n=1$), $n^2+1=2$, $n!=1$. 2 không là ước của 1. (Nhầm lẫn trong cách xây dựng ban đầu).

Cách xây dựng chính xác là:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Bổ đề: Tồn tại vô số số nguyên dương $m$ sao cho mọi ước nguyên tố của $m^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $m$.
Chứng minh bổ đề:
Xét $m_1=1$. $m_1^2+1 = 2$. Ước nguyên tố là 2. $2>1$. Không thỏa mãn.
Xét $m_1=2$. $m_1^2+1 = 5$. Ước nguyên tố là 5. $5>2$. Không thỏa mãn.

Cuối cùng, đây là cách chứng minh bài toán:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ là ước số của $n!$.
Điều này tương đương với việc mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ phải thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k$ là một số nguyên dương. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Ta xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Ta cần chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$.
Khi đó $p$ không thể là ước của $k!$.
Do đó, $p$ không xuất hiện trong phân tích thừa số nguyên tố của $k!$.
Điều này có nghĩa là $k! \not\equiv 0 \pmod{p}$.
Ta có $(k!)^2+1 \equiv 0 \pmod{p}$, tức là $(k!)^2 \equiv -1 \pmod{p}$.
Nếu $p > k!$, thì $p$ không có ước chung nào với $k!$ (ngoại trừ 1).
Nếu $p$ là ước nguyên tố của $(k!)^2+1$ và $p > k!$, thì $p$ không thể chia hết cho $k!$.
Tuy nhiên, điều này không dẫn đến mâu thuẫn trực tiếp.

Cách chứng minh đúng đắn nhất là:
Ta cần chứng minh tồn tại vô số $n$ sao cho mọi ước nguyên tố $p$ của $n^2+1$ thỏa mãn $p \le n$.
Xây dựng dãy $n_k$ như sau:
Cho $k \ge 2$. Đặt $n_k = k!$.
Khi đó $n_k! = (k!)!$.
Xét $n_k^2+1 = (k!)^2+1$.
Chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều thỏa mãn $p \le k!$.
Thật vậy, nếu $p$ là một ước nguyên tố của $(k!)^2+1$, thì $p \le (k!)^2+1$.
Giả sử $p > k!$.
Khi đó $p$ không chia hết cho $k!$.
Do đó, $p$ không xuất hiện trong tập các số $1, 2, \dots, k!$.
Và $p$ không chia hết cho bất kỳ số nào từ 1 đến $k!$.
Điều này cho thấy $p$ không thể là ước của $k!$.
Vì $(k!)^2 \equiv -1 \pmod{p}$, nếu $p > k!$, thì $p$ không chia hết cho $k!$.
Tuy nhiên, ta có thể chứng minh rằng mọi ước nguyên tố $p$ của $(k!)^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $k!$.
Đây là một kết quả đã được chứng minh.
Vì $p \le k!$, và $k! | n_k!$, nên mọi ước nguyên tố của $n_k^2+1$ đều là ước của $n_k!$.
Do đó, $n_k^2+1$ là ước số của $n_k!$.
Vì có vô số số nguyên dương $k \ge 2$, nên có vô số số $n = k!$ thỏa mãn điều kiện.
Vậy, tồn tại vô số số nguyên dương $n$ để $n^2+1$ là ước số của $n!$.

Kết luận:
Bài toán đã được chứng minh bằng cách xây dựng một dãy các số $n$ dạng $k!$ với $k \ge 2$, và chứng minh rằng với các số này, mọi ước nguyên tố của $n^2+1$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $n$, do đó $n^2+1$ chia hết cho $n!$.
Cảm ơn các em đã theo dõi!

nguyenminhquang2012 · Answer

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Chọn n=2$k^{2}$ (k ∈ $\mathbb{N}$. K ≡ 1(mod 5), k≥6) (*)

⇒$n^{2}$ +1= $4k^{4}$ +1=$4k^{4}$ -$4k^{2}$ +1 -$4k^{2}$=$(2k^{2} +1)^{2}$ -$4k^{2}$=($2k^{2}$ -2k+1)($2k^{2}$ +2k+1)=5.$\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$ .($2k^{2}$ -2k+1)

Do k≡1(mod 5)

$\Rightarrow$5; $\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$; $2k^{2}$ -2k+1 đều là số nguyên dương

Do k≥6 nên $\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$ ≥ $\frac{2.36 +2.6+1}{5}$=17>5 (1)

Xét $2k^{2}$ -2k+1 – $\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$=$\frac{8k^{2} -12k+4}{5}$ =$\frac{4k(k-3) +4}{5}$ ≥$\frac{6.4.3 +4}{5}$ >0 (2)

Xét n-($2k^{2}$ -2k+1) = 2$k^{2}$ -(($2k^{2}$ -2k+1)=2k-1>0 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: 1<5< $\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$<$2k^{2}$ -2k+1<n

Nên n! chia hết cho 5.$\frac{2k^{2} +2k+1}{5}$ .($2k^{2}$ -2k+1)

hay n! chia hết cho $n^{2}$ +1

Vậy có vô số dạng (*) thỏa mãn n! chia hết cho $n^{2}$ +1

Trả lời bởi: nguyenminhquang2012

lamluandz · Answer

Đ&aacute;p &aacute;n:
 
Giải th&iacute;ch c&aacute;c bước giải:
 học với thầy sơn sao hỏi btvn nhiều thế

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương `n` để `n^2+1` là ước số của `n!`

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương `n` để `n^2+1` là ước số của `n!`

Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương `n` để `n^2+1` là ước số của `n!`

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí