Chào các em học sinh lớp 11! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi chứng minh hai tính chất quan trọng của các hàm số lượng giác là \(y = tanx\) và \(y = cotx\). Cụ thể, chúng ta sẽ chứng minh rằng hàm số \(y = tanx\) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, và hàm số \(y = cotx\) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

1. Chứng minh hàm số \(y = tanx\) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Trước hết, chúng ta cần nhớ lại định nghĩa về hàm số đồng biến. Một hàm số \(y = f(x)\) được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu với mọi \(x_1, x_2\) thuộc khoảng đó sao cho \(x_1 < x_2\), ta luôn có \(f(x_1) < f(x_2)\).

Chúng ta biết rằng hàm số \(y = tanx\) có tập xác định là \(R \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in Z \}\). Điều này có nghĩa là hàm số \(y = tanx\) không xác định tại các điểm \( \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, …\). Do đó, chúng ta sẽ xét tính đồng biến của hàm số trên từng khoảng xác định của nó, ví dụ như khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), khoảng \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \), v.v.

Ta có công thức đạo hàm của hàm số \(y = tanx\) là:

\( y’ = (\tan x)’ = \frac{1}{\cos^2 x} \)

Bây giờ, chúng ta xét dấu của đạo hàm \(y’\) trên các khoảng xác định của hàm số.

Ta biết rằng với mọi \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(y = tanx\), thì \( \cos x \neq 0 \). Do đó, \( \cos^2 x > 0 \).

Vì \( \cos^2 x > 0 \) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, nên:

\( y’ = \frac{1}{\cos^2 x} > 0 \)

Khi đạo hàm của một hàm số luôn dương trên một khoảng, điều đó có nghĩa là hàm số đó luôn đồng biến trên khoảng đó.

Vậy, hàm số \(y = tanx\) luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó, chẳng hạn như trên khoảng \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), trên khoảng \( (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}) \), v.v.

2. Chứng minh hàm số \(y = cotx\) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

Tương tự, một hàm số \(y = f(x)\) được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu với mọi \(x_1, x_2\) thuộc khoảng đó sao cho \(x_1 < x_2\), ta luôn có \(f(x_1) > f(x_2)\).

Hàm số \(y = cotx\) có tập xác định là \(R \setminus \{ k\pi, k \in Z \}\). Điều này có nghĩa là hàm số \(y = cotx\) không xác định tại các điểm \( 0, \pi, 2\pi, -\pi, …\). Chúng ta sẽ xét tính nghịch biến của hàm số trên từng khoảng xác định của nó, ví dụ như khoảng \( (0, \pi) \), khoảng \( (\pi, 2\pi) \), v.v.

Ta có công thức đạo hàm của hàm số \(y = cotx\) là:

\( y’ = (\cot x)’ = -\frac{1}{\sin^2 x} \)

Bây giờ, chúng ta xét dấu của đạo hàm \(y’\) trên các khoảng xác định của hàm số.

Ta biết rằng với mọi \(x\) thuộc tập xác định của hàm số \(y = cotx\), thì \( \sin x \neq 0 \). Do đó, \( \sin^2 x > 0 \).

Vì \( \sin^2 x > 0 \) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, nên:

\( y’ = -\frac{1}{\sin^2 x} < 0 \)

Khi đạo hàm của một hàm số luôn âm trên một khoảng, điều đó có nghĩa là hàm số đó luôn nghịch biến trên khoảng đó.

Vậy, hàm số \(y = cotx\) luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó, chẳng hạn như trên khoảng \( (0, \pi) \), trên khoảng \( (\pi, 2\pi) \), v.v.

Tóm lại, chúng ta đã sử dụng đạo hàm để chứng minh được hai tính chất quan trọng của hàm số \(y = tanx\) và \(y = cotx\). Việc hiểu rõ tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số lượng giác là rất cần thiết cho các bài toán khảo sát hàm số và các ứng dụng khác trong Toán học.

Các em về nhà làm thêm các bài tập liên quan để củng cố kiến thức nhé! Có câu hỏi gì thì cứ mạnh dạn hỏi thầy.