Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về việc chứng minh một biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau đây không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\):

Đề bài: Chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức \(P=(x-5)(2x+3)-2x(x-3)+x+7\) không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Để chứng tỏ giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến \(x\), chúng ta cần biến đổi biểu thức đó sao cho sau khi rút gọn, biến \(x\) không còn xuất hiện nữa, và kết quả cuối cùng là một hằng số.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau đi vào giải chi tiết bài toán này nhé!

Lời giải chi tiết:

Cho biểu thức:
\(P=(x-5)(2x+3)-2x(x-3)+x+7\)

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Khai triển các tích trong biểu thức.

Ta có hai tích cần khai triển là \((x-5)(2x+3)\) và \(-2x(x-3)\).

1. Khai triển tích thứ nhất: \((x-5)(2x+3)\)

Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức (hay còn gọi là FOIL):

\((x-5)(2x+3) = x \cdot (2x) + x \cdot 3 – 5 \cdot (2x) – 5 \cdot 3\)

\(= 2x^2 + 3x – 10x – 15\)

\(= 2x^2 – 7x – 15\)

2. Khai triển tích thứ hai: \(-2x(x-3)\)

Áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức:

\(-2x(x-3) = (-2x) \cdot x + (-2x) \cdot (-3)\)

\(= -2x^2 + 6x\)

Bước 2: Thay thế các kết quả vừa khai triển vào biểu thức \(P\) và rút gọn.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay các kết quả đã khai triển ở Bước 1 vào biểu thức \(P\) ban đầu:

\(P = \underbrace{(x-5)(2x+3)}_{\text{đã khai triển}} – \underbrace{2x(x-3)}_{\text{đã khai triển}} + x + 7\)

\(P = (2x^2 – 7x – 15) – (2x^2 – 6x) + x + 7\)

Chú ý dấu trừ phía trước \((2x^2 – 6x)\), khi bỏ dấu ngoặc, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong:

\(P = 2x^2 – 7x – 15 – 2x^2 + 6x + x + 7\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng lại với nhau (các hạng tử có cùng biến và cùng số mũ):

\(P = (2x^2 – 2x^2) + (-7x + 6x + x) + (-15 + 7)\)

Thực hiện phép tính trong từng nhóm:

\(2x^2 – 2x^2 = 0x^2 = 0\)

\(-7x + 6x + x = (-7 + 6 + 1)x = 0x = 0\)

\(-15 + 7 = -8\)

Vậy, biểu thức \(P\) sau khi rút gọn là:

\(P = 0 + 0 – 8\)

\(P = -8\)

Kết luận:

Sau khi rút gọn, chúng ta thấy rằng giá trị của biểu thức \(P\) là \(-8\). Đây là một hằng số, tức là một giá trị không thay đổi và không chứa biến \(x\).

Vì kết quả cuối cùng của biểu thức \(P\) là một hằng số và không còn phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\), nên chúng ta đã chứng tỏ được rằng giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến \(x\).

Các em thấy đấy, việc rút gọn đa thức là một kỹ năng rất quan trọng trong toán học. Khi làm bài, chúng ta cần cẩn thận ở từng bước, đặc biệt là các dấu cộng, trừ và việc bỏ dấu ngoặc nhé!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán!