Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh bất đẳng thức trông có vẻ phức tạp nhưng thực ra lại rất thú vị nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh:

\(7/5 < (2+sqrt3)/(sqrt2 + sqrt{2+sqrt3}) + (2-sqrt3)/(sqrt2-sqrt{2-sqrt3}) < 29/20\)

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ đi từng bước một. Đầu tiên, chúng ta cần rút gọn biểu thức ở giữa. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh giá trị rút gọn được với hai phân số ở hai bên.

Chúng ta thấy có hai căn thức lồng nhau là \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\) và \(\sqrt{2-\sqrt{3}}\). Chúng ta hãy rút gọn chúng trước nhé.

Công thức rút gọn căn thức lồng nhau là: \(\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A+C}{2}} \pm \sqrt{\frac{A-C}{2}}\) với \(C = \sqrt{A^2-B}\).

a) Rút gọn \(\sqrt{2+\sqrt{3}}\):

Ở đây, \(A=2\), \(B=3\).

Ta tính \(C = \sqrt{A^2-B} = \sqrt{2^2-3} = \sqrt{4-3} = \sqrt{1} = 1\).

Áp dụng công thức:

\(\sqrt{2+\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} + \sqrt{\frac{2-1}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(= \frac{\sqrt{6}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

b) Rút gọn \(\sqrt{2-\sqrt{3}}\):

Tương tự, \(A=2\), \(B=3\), nên \(C=1\).

Áp dụng công thức:

\(\sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2+1}{2}} – \sqrt{\frac{2-1}{2}}\)

\(= \sqrt{\frac{3}{2}} – \sqrt{\frac{1}{2}}\)

\(= \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} – \frac{1}{\sqrt{2}}\)

\(= \frac{\sqrt{6}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(= \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

Đặt biểu thức ở giữa là \(K\):

\(K = \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)

Ta nhận thấy rằng:

• \(\left(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6+2+2\sqrt{12}}{4} = \frac{8+4\sqrt{3}}{4} = 2+\sqrt{3}\)
• \(\left(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{6+2-2\sqrt{12}}{4} = \frac{8-4\sqrt{3}}{4} = 2-\sqrt{3}\)

Để cho gọn, chúng ta đặt:

\(X = \sqrt{2+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\)

\(Y = \sqrt{2-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\)

Khi đó, \(2+\sqrt{3} = X^2\) và \(2-\sqrt{3} = Y^2\).

Biểu thức \(K\) trở thành:

\(K = \frac{X^2}{\sqrt{2}+X} + \frac{Y^2}{\sqrt{2}-Y}\)

Bây giờ chúng ta sẽ rút gọn từng phân thức:

a) Rút gọn phân thức thứ nhất: \(\frac{X^2}{\sqrt{2}+X}\)

Thay \(X = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\) vào mẫu số:

\(\sqrt{2}+X = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{2}\)

Vậy, phân thức thứ nhất là:

\(\frac{2+\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{2}} = \frac{2(2+\sqrt{3})}{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}\)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(3-\sqrt{3}\):

\(= \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(6-2\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3)}{3^2 – (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{9-3}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{3})}{6}\)

\(= \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6}\)

b) Rút gọn phân thức thứ hai: \(\frac{Y^2}{\sqrt{2}-Y}\)

Thay \(Y = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\) vào mẫu số:

\(\sqrt{2}-Y = \sqrt{2} – \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = \frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}{2}\)

Vậy, phân thức thứ hai là:

\(\frac{2-\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}{2}} = \frac{2(2-\sqrt{3})}{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})}{3-\sqrt{3}}\)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \(3+\sqrt{3}\):

\(= \frac{\sqrt{2}(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})(3+\sqrt{3})}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(6+2\sqrt{3}-3\sqrt{3}-3)}{3^2 – (\sqrt{3})^2}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}{9-3}\)

\(= \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{3})}{6}\)

\(= \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\)

c) Cộng hai phân thức đã rút gọn:

\(K = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{6} + \frac{3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\)

\(K = \frac{(3\sqrt{2}+\sqrt{6}) + (3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{6}\)

\(K = \frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}}{6}\)

\(K = \frac{6\sqrt{2}}{6}\)

\(K = \sqrt{2}\)

Tuyệt vời! Biểu thức phức tạp ban đầu đã được rút gọn thành một giá trị rất đơn giản là \(\sqrt{2}\)!

Bây giờ, chúng ta cần chứng minh rằng:

\(7/5 < \sqrt{2} < 29/20\)

Chúng ta có thể chuyển các phân số này sang dạng số thập phân để dễ so sánh:

• \(7/5 = 1.4\)
• \(29/20 = 1.45\)

Vậy, bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:

\(1.4 < \sqrt{2} < 1.45\)

Để chứng minh điều này, chúng ta sẽ bình phương cả ba vế của bất đẳng thức. Vì tất cả các số đều dương, khi bình phương, chiều của bất đẳng thức sẽ không đổi:

\((1.4)^2 < (\sqrt{2})^2 < (1.45)^2\)

Tính toán các giá trị:

• \((1.4)^2 = 1.96\)
• \((\sqrt{2})^2 = 2\)
• \((1.45)^2 = 2.1025\)

Vậy, bất đẳng thức trở thành:

\(1.96 < 2 < 2.1025\)

Đây là một khẳng định đúng!

Chúng ta đã rút gọn biểu thức ở giữa thành \(\sqrt{2}\) và sau đó chứng minh được rằng \(\sqrt{2}\) nằm giữa \(7/5\) và \(29/20\).

Vậy, \(\frac{7}{5} < \frac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}} < \frac{29}{20}\) đã được chứng minh.

Các em thấy không, một bài toán tưởng chừng rất khó nhưng khi chúng ta phân tích và giải quyết từng bước một thì mọi thứ lại trở nên thật rõ ràng và thú vị! Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!