Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ đi theo từng bước một cách cẩn thận và chi tiết.

Bài toán 1: Tìm tất cả các hàm số \(f : QQ \rightarrow QQ\) thỏa mãn \(f(x+y) = f(x) + f(y)\) với mọi \(x,y \in QQ\).

Đây là phương trình hàm Cauchy cơ bản trên tập hợp các số hữu tỉ \(\mathbb{Q}\).

Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại 0.

Trong phương trình đã cho, chúng ta thay \(x=0\) và \(y=0\):
\(f(0+0) = f(0) + f(0)\)
\(f(0) = 2f(0)\)
Trừ \(f(0)\) ở cả hai vế, ta được:
\(-f(0) = 0\)
Vậy, \(\mathbf{f(0) = 0}\).

Bước 2: Tìm giá trị của hàm số với số nguyên dương.

Từ định nghĩa, ta có:
\(f(2x) = f(x+x) = f(x) + f(x) = 2f(x)\)
\(f(3x) = f(2x+x) = f(2x) + f(x) = 2f(x) + f(x) = 3f(x)\)
Chúng ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng \(f(nx) = nf(x)\) với mọi số nguyên dương \(n \in \mathbb{N}^*\) và mọi \(x \in \mathbb{Q}\).

Cơ sở: Với \(n=1\), \(f(1x) = f(x)\) và \(1f(x) = f(x)\), đúng.
Giả sử: Giả sử \(f(kx) = kf(x)\) đúng với một số nguyên dương \(k\) bất kỳ.
Bước quy nạp: Ta cần chứng minh \(f((k+1)x) = (k+1)f(x)\).
\(f((k+1)x) = f(kx+x) = f(kx) + f(x)\) (theo phương trình hàm)
Theo giả thiết quy nạp, \(f(kx) = kf(x)\). Do đó:
\(f((k+1)x) = kf(x) + f(x) = (k+1)f(x)\)
Vậy, công thức \(f(nx) = nf(x)\) đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\) và mọi \(x \in \mathbb{Q}\).

Bước 3: Tìm giá trị của hàm số với số nguyên âm.

Thay \(y = -x\) vào phương trình ban đầu:
\(f(x + (-x)) = f(x) + f(-x)\)
\(f(0) = f(x) + f(-x)\)
Vì \(f(0) = 0\) (từ Bước 1), ta có:
\(0 = f(x) + f(-x)\)
Suy ra, \(f(-x) = -f(x)\).

Bây giờ, nếu \(n\) là một số nguyên âm, tức là \(n = -m\) với \(m \in \mathbb{N}^*\).
\(f(nx) = f(-mx) = -f(mx)\) (theo kết quả \(f(-x) = -f(x)\))
\( = -(mf(x))\) (theo kết quả \(f(nx)=nf(x)\) với \(n \in \mathbb{N}^*\))
\( = (-m)f(x) = nf(x)\).
Kết hợp với \(f(0x) = f(0) = 0\) và \(0f(x) = 0\), ta kết luận rằng:
\(\mathbf{f(nx) = nf(x)}\) với mọi số nguyên \(n \in \mathbb{Z}\) và mọi \(x \in \mathbb{Q}\).

Bước 4: Tìm giá trị của hàm số với số hữu tỉ.

Bất kỳ số hữu tỉ \(q\) nào cũng có thể viết dưới dạng \(q = m/n\), với \(m \in \mathbb{Z}\) và \(n \in \mathbb{N}^*\).
Đặt \(x = q \cdot 1 = (m/n) \cdot 1\).
Chúng ta có thể viết \(f(x)\) như sau:
\(f(x) = f((m/n) \cdot x)\).
À, để dễ hình dung hơn, ta đặt \(x=1\).
Ta có \(f(1)\) là một giá trị cố định trong \(\mathbb{Q}\). Gọi \(f(1) = c\), với \(c \in \mathbb{Q}\) là một hằng số.
Từ Bước 3, \(f(n \cdot (x/n)) = n \cdot f(x/n)\).
Nếu ta đặt \(y = x/n\), thì \(f(x) = nf(x/n)\).
Suy ra \(f(x/n) = (1/n)f(x)\).
Vậy, nếu \(q = m/n\), ta có:
\(f(qx) = f((m/n)x) = m \cdot f((1/n)x) = m \cdot (1/n)f(x) = (m/n)f(x)\).
Do đó, \(\mathbf{f(qx) = qf(x)}\) với mọi số hữu tỉ \(q \in \mathbb{Q}\) và mọi \(x \in \mathbb{Q}\).

Bước 5: Kết luận dạng tổng quát của hàm số.

Trong kết quả ở Bước 4, ta chọn \(x=1\).
\(f(q \cdot 1) = q \cdot f(1)\).
Đặt \(f(1) = c\), với \(c\) là một hằng số tùy ý thuộc \(\mathbb{Q}\).
Vậy, \(\mathbf{f(q) = cq}\) với mọi số hữu tỉ \(q \in \mathbb{Q}\).

Chúng ta có thể kiểm tra lại:
Nếu \(f(x) = cx\), thì \(f(x+y) = c(x+y) = cx + cy\).
Và \(f(x) + f(y) = cx + cy\).
Hai vế bằng nhau, vậy nghiệm của phương trình hàm là \(f(x) = cx\), với \(c \in \mathbb{Q}\).

—

Bài toán 2: Tìm tất cả các hàm số \(f : QQ \rightarrow QQ\) thỏa mãn \(f(x+y) – f(x) – f(y) = xy(x+y)\) với mọi \(x,y \in QQ\).

Đây là một dạng biến thể của phương trình hàm Cauchy, có thêm một vế phải khác 0.

Bước 1: Tìm giá trị của hàm số tại 0.

Thay \(x=0\) và \(y=0\) vào phương trình:
\(f(0+0) – f(0) – f(0) = 0 \cdot 0 \cdot (0+0)\)
\(f(0) – f(0) – f(0) = 0\)
\(-f(0) = 0\)
Vậy, \(\mathbf{f(0) = 0}\).

Bước 2: Tìm một hàm số riêng thỏa mãn phương trình.

Quan sát vế phải \(xy(x+y)\), ta thấy nó là một đa thức bậc 3. Điều này gợi ý rằng hàm số \(f(x)\) có thể là một đa thức bậc 3.
Hãy thử một dạng hàm \(f_p(x) = ax^3\).
Thay vào phương trình:
\(a(x+y)^3 – ax^3 – ay^3 = xy(x+y)\)
\(a(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) – ax^3 – ay^3 = xy(x+y)\)
\(a(3x^2y + 3xy^2) = xy(x+y)\)
\(3axy(x+y) = xy(x+y)\)
Để đẳng thức này đúng với mọi \(x,y \in \mathbb{Q}\) (trừ trường hợp \(x=0\) hoặc \(y=0\) hoặc \(x+y=0\), nhưng vì nó là đa thức nên ta có thể mở rộng), ta phải có:
\(3a = 1 \Rightarrow a = 1/3\).
Vậy, ta tìm được một hàm số riêng (particular solution) là \(\mathbf{f_p(x) = (1/3)x^3}\).

Bước 3: Đặt một hàm số mới.

Bây giờ, chúng ta sẽ định nghĩa một hàm số mới \(h(x)\) sao cho phương trình ban đầu trở về dạng phương trình Cauchy cơ bản.
Đặt \(f(x) = h(x) + f_p(x) = h(x) + (1/3)x^3\).
Thay \(f(x)\) vào phương trình ban đầu:
\((h(x+y) + (1/3)(x+y)^3) – (h(x) + (1/3)x^3) – (h(y) + (1/3)y^3) = xy(x+y)\)
Sắp xếp lại các số hạng:
\([h(x+y) – h(x) – h(y)] + [(1/3)(x+y)^3 – (1/3)x^3 – (1/3)y^3] = xy(x+y)\)
\([h(x+y) – h(x) – h(y)] + (1/3)[(x+y)^3 – x^3 – y^3] = xy(x+y)\)
Ta biết rằng \((x+y)^3 – x^3 – y^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 – x^3 – y^3 = 3x^2y + 3xy^2 = 3xy(x+y)\).
Thay kết quả này vào phương trình:
\([h(x+y) – h(x) – h(y)] + (1/3)[3xy(x+y)] = xy(x+y)\)
\([h(x+y) – h(x) – h(y)] + xy(x+y) = xy(x+y)\)
Trừ \(xy(x+y)\) ở cả hai vế:
\(\mathbf{h(x+y) – h(x) – h(y) = 0}\)
Hay \(\mathbf{h(x+y) = h(x) + h(y)}\).

Bước 4: Sử dụng kết quả từ Bài toán 1.

Phương trình hàm cho \(h(x)\) chính là phương trình Cauchy mà chúng ta đã giải ở Bài toán 1.
Vì \(h: QQ \rightarrow QQ\), nghiệm của phương trình này là \(h(x) = cx\), với \(c\) là một hằng số tùy ý thuộc \(\mathbb{Q}\).

Bước 5: Kết luận dạng tổng quát của hàm số \(f(x)\).

Từ định nghĩa của \(h(x)\), ta có \(f(x) = h(x) + (1/3)x^3\).
Thay \(h(x) = cx\) vào, ta được:
\(\mathbf{f(x) = cx + (1/3)x^3}\), với \(c\) là một hằng số tùy ý thuộc \(\mathbb{Q}\).

Chúng ta có thể kiểm tra lại nghiệm này:
LHS = \(f(x+y) – f(x) – f(y)\)
= \([c(x+y) + (1/3)(x+y)^3] – [cx + (1/3)x^3] – [cy + (1/3)y^3]\)
= \(c(x+y) – cx – cy + (1/3)[(x+y)^3 – x^3 – y^3]\)
= \(0 + (1/3)[3x^2y + 3xy^2]\)
= \((1/3)[3xy(x+y)]\)
= \(xy(x+y)\)
RHS = \(xy(x+y)\).
LHS = RHS, vậy nghiệm của phương trình hàm là chính xác.

Hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải quyết các phương trình hàm, đặc biệt là phương trình hàm Cauchy và các biến thể của nó. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!