Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tính chia hết. Đây là dạng bài thường gặp và giúp chúng ta rèn luyện tư duy logic rất tốt đấy!

Đề bài: Chứng minh rằng nếu \(2x + y\) chia hết cho 9 thì \(5x + 7y\) cũng chia hết cho 9.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Phân tích đề bài:

Khi nói một số chia hết cho 9, nghĩa là số đó có thể viết dưới dạng tích của 9 với một số nguyên nào đó.

• Điều kiện cho trước: \(2x + y\) chia hết cho 9.
  Điều này có nghĩa là chúng ta có thể viết: \(2x + y = 9k\) (với \(k\) là một số nguyên bất kỳ).
• Điều chúng ta cần chứng minh: \(5x + 7y\) chia hết cho 9.
  Nghĩa là chúng ta cần chỉ ra rằng \(5x + 7y\) có thể viết được dưới dạng \(9m\) (với \(m\) cũng là một số nguyên nào đó).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần chứng minh cụ thể. Thầy/cô sẽ hướng dẫn các em hai cách giải thường dùng nhé!

Cách 1: Phương pháp thế (thay thế)

Đây là cách làm rất trực quan và dễ hiểu. Chúng ta sẽ dùng thông tin đã cho để “biến đổi” biểu thức cần chứng minh.

Bước 1: Rút gọn một biến từ điều kiện đã cho.

Vì \(2x + y\) chia hết cho 9, ta có thể viết:

\(2x + y = 9k\) (với \(k \in \mathbb{Z}\), tức là \(k\) là một số nguyên)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\) (hoặc ngược lại, nhưng biểu diễn \(y\) thường đơn giản hơn):

\(y = 9k – 2x\)

Bước 2: Thay thế giá trị của \(y\) vào biểu thức cần chứng minh.

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(y = 9k – 2x\) vào biểu thức \(5x + 7y\):

\(5x + 7y = 5x + 7(9k – 2x)\)

Bước 3: Rút gọn biểu thức vừa thay thế.

Thực hiện phép nhân và cộng trừ các số hạng tương tự:

\(5x + 7(9k – 2x) = 5x + 7 \times 9k – 7 \times 2x\)

\(= 5x + 63k – 14x\)

Gộp các số hạng có \(x\) lại với nhau:

\(= (5x – 14x) + 63k\)

\(= -9x + 63k\)

Bước 4: Đặt thừa số chung và kết luận.

Chúng ta thấy cả \(-9x\) và \(63k\) đều có thể chia hết cho 9. Vậy ta có thể đặt 9 làm thừa số chung:

\(= 9(-x + 7k)\)

Vì \(x\) là một số nguyên và \(k\) là một số nguyên, nên \((-x + 7k)\) cũng là một số nguyên. Hãy gọi số nguyên này là \(m\).

Vậy, \(5x + 7y = 9m\).

Điều này chứng tỏ rằng \(5x + 7y\) chia hết cho 9.

Cách 2: Phương pháp cộng/trừ kết hợp (hoặc phương pháp tạo ra bội của 9)

Cách này đòi hỏi một chút tinh ý hơn. Chúng ta sẽ cố gắng biến đổi biểu thức \(5x + 7y\) sao cho nó “lộ ra” thành phần \((2x + y)\) và một phần còn lại chia hết cho 9.

Chúng ta biết rằng \(2x + y\) chia hết cho 9.

Hãy xét biểu thức: \(5x + 7y\)

Chúng ta muốn “tạo ra” một số hạng là bội của \((2x+y)\) để tận dụng điều kiện đã cho.

Thử nhân \((2x+y)\) với một số nguyên nào đó, ví dụ, ta muốn làm mất biến \(y\) đi, hoặc làm cho hệ số của \(x\) hoặc \(y\) giống nhau.

Nếu ta lấy \(7\) nhân với \((2x+y)\), ta được: \(7(2x+y) = 14x + 7y\).

Bây giờ, so sánh \(14x + 7y\) với \(5x + 7y\). Chúng ta thấy \(7y\) giống nhau.

Hãy xét hiệu của chúng:

\((14x + 7y) – (5x + 7y) = 14x – 5x + 7y – 7y = 9x\)

Vậy, ta có thể viết:

\(5x + 7y = (14x + 7y) – 9x\)

Mà \(14x + 7y = 7(2x + y)\).

Do đó, \(5x + 7y = 7(2x + y) – 9x\)

Bây giờ, chúng ta phân tích từng phần:

• Ta biết rằng \(2x + y\) chia hết cho 9 (theo đề bài).
• Do đó, \(7(2x + y)\) cũng chia hết cho 9 (vì một số chia hết cho 9 nhân với một số nguyên bất kỳ thì kết quả vẫn chia hết cho 9).
• Số hạng \(9x\) hiển nhiên chia hết cho 9.

Vì cả \(7(2x + y)\) và \(9x\) đều chia hết cho 9, nên hiệu của chúng cũng chia hết cho 9.

Vậy, \(5x + 7y\) chia hết cho 9.

Kết luận:

Cả hai cách đều cho chúng ta cùng một kết quả, đó là: Nếu \(2x + y\) chia hết cho 9 thì \(5x + 7y\) cũng chia hết cho 9.

Các em thấy không, bài toán này không quá khó phải không nào? Quan trọng là chúng ta biết cách biến đổi biểu thức một cách hợp lý và sử dụng đúng các tính chất của phép chia hết.

Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để nắm vững kiến thức này nhé!

Chúc các em học tốt!